高考数学 专题28 基本不等式及其应用热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题28基本不等式及其应用1.了解基本不等式的证明过程。2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。热点题型一利用基本不等式求最值例1、(1)若x<，则y＝x＋的最大值为________。(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为________。(2) x≥0，y≥0，x2＋＝1，∴x＝＝≤×＝×＝，当且仅当x＝，y＝时，x取得最大值。【提分秘籍】利用基本不等式求最值的常用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致。提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解。【举一反三】已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋的最小值是________。答案：7＋4热点题型二基本不等式的实际应用例2、某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)。如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。(1)将该厂家2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2015年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解析：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，每件产品的销售价格为1.5×(元)，∴2015年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)。(2) m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)。故该厂家2015年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元。【提分秘籍】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。【举一反三】某化工企业2014年底投入100万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)。(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需要重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。热点题型三基本不等式的综合应用例3．(1)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________。(2)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为()A．9B．12C．18D．24解析：(1)因为点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即＋＝1，所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即m2＝n2时取等号。所以＋的最小值为2。(2)因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤min。因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12。故选B。【提分秘籍】基本不等式综合问题的解题策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解。(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。(3)求参数的值域范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围。【举一反三】已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是()A．9B．8C．4D．21.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B2.【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，...