第8讲空间中的平行与垂直1.(2018江苏盐城高三期中)设向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=.2.已知角α的终边经过点P(-1,2),则sin(π+α)+2cos(2π-α)sinα+sin(π2+α)=.3.已知m,n是不重合的两条直线,α,β是不重合的两个平面.下列命题:①若m∥α,mβ,⊂则α∥β;②若m∥α,m⊥n,则n⊥α;③若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④若α⊥β,m⊥α,则m∥β.其中所有真命题的序号为.4.如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=2,且⃗BE=⃗EC,⃗DF=12⃗FC,则⃗AE·⃗BF=.5.(2018苏锡常镇四市高三情况调研)已知a>0,b>0,且2a+3b=√ab,则ab的最小值是.6.(2017镇江高三期末)已知锐角θ满足tanθ=√6cosθ,则sinθ+cosθsinθ-cosθ=.7.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin(C+π3)=√3b.(1)求A的值;(2)求cos2B+2cosAsinB的取值范围.8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q是棱PC上异于P、C的一点.(1)求证:BD⊥AC;1(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.2答案精解精析1.答案83解析根据题意,向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,y∈R),则有{7=2x+3y,8=3x+3y,解得{x=1,y=53,则x+y=83.2.答案-4解析由已知得sinα=2√5,cosα=-1√5,原式=-sinα+2cosαsinα+cosα=-2√5-2√52√5-1√5=-4.3.答案③解析若m∥α,mβ,⊂则α∥β或α,β相交,①错误;若m∥α,m⊥n,则nα⊂或n,α平行或相交,②错误;若m⊥α,m⊥β,则α∥β,③正确;若α⊥β,m⊥α,则m∥β或mβ,④⊂错误,故真命题的序号为③.4.答案-4解析⃗AE·⃗BF=(⃗AB+12⃗AD)·(⃗AF-⃗AB)=(⃗AB+12⃗AD)·(⃗AD-23⃗AB)=-23·⃗AB2+12⃗AD2=-6+2=-4.5.答案2√6解析因为a>0,b>0,所以√ab=2a+3b≥2√6ab,解得ab≥2√6,当且仅当2a=3b时取等号,故ab的最小值是2√6.6.答案3+2√2解析由tanθ=√6cosθ得sinθ=√6cos2θ=√6(1-sin2θ),又θ是锐角,解得sinθ=√2√3=√63(舍负),则cosθ=√1-sin2θ=√33,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=√63+√33√63-√33=√2+1√2-1=3+2√2.37.解析(1)由正弦定理和两角和的正弦公式可得2sinA(12sinC+√32cosC)=√3sinB,sinAsinC+√3sinAcosC=√3sin(A+C)=√3sinAcosC+√3cosAsinC,化简得sinAsinC=√3cosAsinC,C是锐角,则sinC≠0,sinA=√3cosA,tanA=√3,则锐角A=π3.(2)因为△ABC是锐角三角形,所以C=2π3-B∈(0,π2),B∈(π6,π2),sinB∈(12,1),则cos2B+2cosAsinB=cos2B+sinB=-2sin2B+sinB+1=-2(sinB-14)2+98,所以cos2B+2cosAsinB∈(0,1).8.证明(1)PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC,记AC,BD交于点O,连接OP,平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点.又△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.(2)四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF,又AD∥BC,所以QF∥BC.4
