2.1.2椭圆的简单几何性质课后训练案巩固提升一、A组1.若点P(m,n)在椭圆x29+y2=1上,则实数m的取值范围是()A.[-6,6]B.[-3,3]C.[-2,2]D.[-1,1]解析:椭圆焦点在x轴上,且a=3,所以-3≤m≤3.答案:B2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为()A.13B.√33C.√22D.12解析:因为2x2+3y2=m(m>0)⇒x2m2+y2m3=1,所以c2=m2−m3=m6,故e2=13,解得e=√33.答案:B3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-√3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.x24+y2=1B.x2+y24=1C.x23+y2=1D.x2+y23=1解析: 一个焦点为(-√3,0),∴焦点在x轴上且c=√3. 长轴长是短轴长的2倍,∴2a=2·2b,即a=2b,∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.答案:A4.(2016四川成都高二月考)椭圆以两坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()A.(±13,0)B.(0,±10)C.(0,±13)D.(0,±√69)解析:由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=√a2-b2=√69,故焦点坐标为(0,±√69).答案:D5.曲线x225+y29=1与曲线x225-k+y29-k=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:由于k<9,所以两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,且c2=25-9=(25-k)-(9-k)=16,所以两个椭圆的焦距相等,但长轴长、短轴长、离心率不一定相等.答案:D6.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析:由题意得|PF2|=|F1F2|,所以2(32a-c)=2c,所以3a=4c,所以e=34.答案:C17.与椭圆y24+x23=1有相同的离心率,且长轴长与x28+y23=1的长轴长相等的椭圆方程为.解析:椭圆y24+x23=1的离心率为e=12,椭圆x28+y23=1的长轴长为4√2.所以{ca=12,2a=4√2,解得a=2√2,c=√2,故b2=a2-c2=6.又因为所求椭圆焦点既可在x轴上,也可在y轴上,故方程为x28+y26=1或y28+x26=1.答案:x28+y26=1或y28+x26=18.(2016江苏南京高二月考)椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.解析:依题意有(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=ca=15.答案:159.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为√55;(2)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-4).解:(1)将方程4x2+9y2=36化为x29+y24=1,可得椭圆焦距为2c=2√5,又因为离心率e=√55,即√55=√5a,所以a=5,从而b2=a2-c2=25-5=20.若椭圆焦点在x轴上,则其方程为x225+y220=1;若椭圆焦点在y轴上,则其方程为y225+x220=1.(2)依题意2a=2·2b,即a=2b.若椭圆焦点在x轴上,设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则有{a=2b,4a2+16b2=1,解得{a2=68,b2=17,所以椭圆方程为x268+y217=1;若椭圆焦点在y轴上,设其方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则有{a=2b,16a2+4b2=1,解得{a2=32,b2=8.所以椭圆方程为x28+y232=1.10.已知椭圆x24+y23=1,试问在椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等?解:由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等.设M(x,y)(-2≤x≤2),则√(x-1)2+y2=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.2又由x24+y23=1,得y2=3(1-x24),代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.二、B组1.若椭圆的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的标准方程是()A.x236+y220=1B.x228+y212=1C.x225+y29=1D.x220+y24=1解析:由题意得c=4,因为点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积为12,所以12×2c×b=12,即bc=12,于是b=3,a=5,故椭圆方程为x225+y29=1.答案:C2.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m千米,远地点B距离地面n千米,地球半径为k千米,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2√(m+k)(n+k)B.√(m+k)(n+k)C.mnD.2mn解析:由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=√(m+k)(n+k),所以椭圆的短轴长为2√(m+k)(n+k).答案:A3.如图,F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.√...
