培优点一函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．（2）的单调递增区间为________．【答案】（1）D；（2），【解析】（1）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为．（2）由题意知，当时，；当时，，二次函数的图象如图．由图象可知，函数在，上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数的最小值为________．【答案】1【解析】易知函数在上为增函数，∴时，．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．（2）定义在R上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________．【答案】（1）D；（2）【解析】（1）根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，因为，且，所以．（2）由题意知，，由得或解得或．４．奇偶性例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以其图象关于轴对称，又在上单调递增，，所以，所以．故选A．５．轴对称例５：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（）A．404B．804C．806D．402【答案】C【解析】，为偶函数，，关于，轴对称，为周期函数，且，将划分为关于，轴对称，，，在中只含有四个零点，而共201组所以；在中，含有零点，共两个，所以一共有806个零点，故选C．６．中心对称例６：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（）A．是偶函数B．是奇函数C．D．是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看的性质，由，为奇函数分别可得到：，，所以关于，中心对称，双对称出周期可求得，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A，B．对于D选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移3个单位，即关于对称，所以为奇函数，D正确．７．周期性的应用例７：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（）A．B．1C．0D．无法计算【答案】C【解析】由题意，得， 是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，∴，，∴，∴，∴，∴的周期为4，∴，，又 ，∴．一、选择题对点增分集训1．若函数的单调递增区间是，则的值为（）A．B．2C．D．6【答案】C【解析】由图象易知函数的单调增区间是，令，∴．2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使在上是增函数，则且，即．3．设函数，则是（）A．奇函数，且在内是增函数B．奇函数，且在内是减函数C．偶函数，且在内是增函数D．偶函数，且在内是减函数【答案】A【解析】易知的定义域为，且，则为奇函数，又在上是增函数，所以在上是增函数．4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 函数图象关于对称，∴，又在上单调递增，∴，即，故选B．5．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】由已知得，，则有解得．6．函数的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，且，所以函数为奇函数，排除A，B．当时，，排除C，故选D．7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】 为偶函数，∴，则，又为奇函数，则，且．从而，的周期为4．∴．8．函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】与的图象关于轴对称的函数为．依题意，的图象向右平移一个单位，得的图象．∴的图象由的图象向左平移一个单位得到．∴．9．使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在同一坐标系内作出，的图象，知满足条件的，故选A．10．已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，∴函数的周期是2． 函数为偶函数，∴，． 在区间上是单调递增的，∴，即．11．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，则（）A．0B．2...
