12.2参数方程[基础送分提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．解(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0，C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝，联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，则|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，令t＝1＋sin2α，则|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4，当0<α<时，t∈(1,2)．设f(t)＝＋4t－4，易得f(t)在(1,2)上单调递增，∴|OA|2＋|OB|2∈(2,5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设点P的直角坐标为P(2,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，并且|PA|·|PB|＝，求tanα的值．解(1)将方程ρsin2θ＝4cosθ两边同乘以ρ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得y2＝4x.经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.(2)将代入y2＝4x，得sin2α·t2＋(2sinα－4cosα)t－7＝0，因为P(2,1)在直线l上，所以|t1t2|＝＝，所以sin2α＝，α＝或α＝，即tanα＝或tanα＝－.3．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．解(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|3sinθ－4cosθ＋13|＝|5sin(θ－φ)＋13|，1所以d的最小值为.4．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ＝asinθ，直线l的参数方程是(t为参数)．(1)若a＝2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．解(1)当a＝2时，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.∴圆C的圆心坐标为C(0,1)，半径r＝1.令y＝t＝0得t＝0，把t＝0代入x＝－t＋2得x＝2.∴M(2,0)．∴|MC|＝＝.∴|MN|的最大值为|MC|＋r＝＋1.(2)由ρ＝asinθ得ρ2＝aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝ay，即x2＋2＝.∴圆C的圆心为C，半径为，直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．∴＝，解得a＝32或a＝.5．(2017·锦州二模)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．解(1)∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为：ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，∴(x－2)2＋y2＝4.(2)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：(tcosα－1)2＋(tsinα)2＝4，化简得t2－2tcosα－3＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则∴|AB|＝|t1－t2|＝＝，∵|AB|＝，∴＝.∴cosα＝±.∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.∴直线的倾斜角α＝或α＝.6．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.解(1)由消去参数α得＋y2＝1，即C的普通方程为＋y2＝1.由ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)将代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)，知点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，2则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.3
