考查角度4导数的运算及其几何意义分类透析一导数的计算例1(1)f(x)=x(2018+lnx),若f'(x0)=2019,则x0等于().A.e2B.1C.ln2D.e(2)已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=.解析(1)f'(x)=2018+lnx+x×=2019+lnx,故由f'(x0)=2019,得2019+lnx0=2019,则lnx0=0,解得x0=1.(2) f'(x)=2x+2f'(1),∴f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2.∴f'(x)=2x-4,∴f'(0)=-4.答案(1)B(2)-4方法技巧导数计算的原则和方法:求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.分类透析二求切线方程例2曲线f(x)=在x=0处的切线方程为.解析因为f'(x)==,所以曲线f(x)在x=0处的切线的斜率为k=f'(0)=-2,又f(0)=-1,则所求的切线方程为y+1=-2x,即2x+y+1=0.答案2x+y+1=0方法技巧(1)求曲线切线方程的步骤:①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;②由点斜式方程求得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).(2)求曲线的切线方程需注意两点:①当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,切线方程为x=x0;②当切点坐标不知道时,应先设出切点坐标,再求解.分类透析三求参数的值例3(1)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b=.(2)设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a=.解析(1)由题意知,y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a,则解得k=2,a=-1,b=3,∴2a+b=1.(2) y'=,∴y'=-1.由条件知=-1,∴a=-1.答案(1)1(2)-1方法技巧处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出以下方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.1.(2018年全国Ⅰ卷,文6改编)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.解析 f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又点(2,7)在切线上,可得a=1.答案12.(2018年全国Ⅱ卷,文13改编)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为.解析 点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,∴设切点为(x0,y0).又 f'(x)=1+lnx,∴直线l的方程为y+1=(1+lnx0)x.∴由解得x0=1,y0=0.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.答案x-y-1=03.(2016年全国Ⅲ卷,文16改编)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是.解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=lnx-3x.又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-lnx+3x,所以f'(x)=-+3,则切线斜率为f'(1)=2,所以切线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.答案y=2x+14.(2016年全国Ⅱ卷,文12改编)若直线y=x+2是曲线y=lnx+a的切线,则a为.解析因为y=lnx+a,所以y'=,设切点坐标为(x0,y0),则有=1,解得x0=1,所以y0=3,把(1,3)代入y=lnx+a,则a=3.答案31.(2018江西景德镇模拟)若函数f(x)=f'(1)x3-2x2+3,则f'(1)的值为().A.0B.-1C.1D.2解析 f'(x)=3f'(1)x2-4x,∴f'(1)=3f'(1)-4,∴f'(1)=2.答案D2.(2018年四川名校一模)已知函数f(x)的图象如图,f'(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是().A.0
