第7讲立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角一、填空题1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是________．解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO＝(－1,1－t，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．答案异面垂直2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为________．解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，所以sin〈CM，D1N〉＝.答案3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案4．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________.解析如图，建立直角坐标系D－xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝.答案5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为________．解析如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件G，B，E，F，GB＝，EF＝，cos〈GB，EF〉＝＝0，则GB⊥EF.答案90°6．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.则CA＝(2a,0,0)，AP＝，CB＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝.∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.答案30°7.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为________．解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则MC＝，MP＝.由MP＝MC得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分．答案①8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设BP＝λBD1，可得：P(λ，λ，λ)．再由cos∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大．故VP－ABC＝××1×1×＝.答案9．已知P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小为90°.答案90°10．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，FAE＝，AF＝设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为θ由令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)cosθ＝cos〈n，m〉＝，tanθ＝.答案二、解答题11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是棱CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值．解(1) C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，∴分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则B(0,1,0)，A1(，0，)，A(...
