高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第2节 导数的应用 第4课时 利用导数解决不等式恒成立或有解问题课时跟踪检测 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第4课时利用导数解决不等式恒成立或有解问题1．(2019年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若当x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．解：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.当x∈时，g′(x)＞0；当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知，f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范围是(－∞，0]．2．(2019届陕西质量检测一)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)证明：f(x)≤g(x)；(3)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝，所以f′(1)＝1.又f(1)＝0，所以切线的方程为y－0＝1×(x－1)，即所求切线的方程为y＝x－1.(2)证明：设h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1，令h′(x)＝0，得x＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值所以h(x)≤h(x)max＝h(1)＝0，即f(x)≤g(x)．(3)易知对任意的x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0.①当a≥1时，f(x)≤g(x)≤ag(x)；②当a≤0时，f(x)＞0，ag(x)≤0，所以不满足不等式f(x)≤ag(x)；③当0＜a＜1时，设φ(x)＝f(x)－ag(x)＝lnx－a(x－1)，则φ′(x)＝－a.令φ′(x)＝0，得x＝，当x变化时，φ′(x)，φ(x)的变化情况下表：xφ′(x)＋0－φ(x)极大值所以φ(x)max＝φ＞φ(1)＝0，不满足不等式．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．3．(2019届贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.1(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝lna.由f′(x)＞0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f′(x)＜0，得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞)．综上，当a≤0时，f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，lna)，单调减区间为(lna，＋∞)．(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，则ax≤，即a≤在x0∈(0，＋∞)上有解．设h(x)＝，则问题转化为a≤，由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a≤.故a的取值范围为.4．已知函数f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a.(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若∃x0＞0，使f(x0)＞g(x0)成立，求参数a的取值范围．解：(1)由题意得，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－x＋1，设切点为(x0，f(x0))，则k＝f′(x0)＝－x0＋1＝3，解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切点，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－.(2)设h(x)＝3lnx－x2－2x.∃x0＞0，使f(x0)＞g(x0)成立，等价于∃x0＞0，使h(x0)＝3lnx0－x－2x0＞a成立，等价于a＜h(x)max(x＞0)．因为h′(x)＝－x－2＝＝－，令h′(x)＞0，得0＜x＜1；令h′(x)＜0，得x＞1.所以函数h(x)＝3lnx－x2－2x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝－，即a＜－，因此参数a的取值范围为.5．(2020届陕西省百校联盟高三模拟)已知函数f(x)＝lnx＋＋，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝＋2，当a>0时，证明：f(x)－g(x)≥0恒成立．解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝(x>0)，①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，当0