5.7三角函数的应用分层演练综合提升A级基础巩固1.一个大风车的半径为6m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式()A.h(t)=-6sinπ6t+6B.h(t)=-6cosπ6t+6C.h(t)=-6sinπ6t+8D.h(t)=-6cosπ6t+8答案:D2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球作上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin2t+π6,s2=10cos2t.当t=2π3时,s1与s2的大小关系是()A.s1>s2B.s10,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9000元,9月份价格最低,为5000元,根据以上条件,确定f(x)的解析式.解:作出函数简图,如图所示.已知三角函数模型为f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意,知A=2000,B=7000,T=2×(9-3)=12,所以ω=2πT=π6.将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则有π6×3+φ=π2,所以φ=0.故f(x)=2000sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*).B级能力提升6.发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数:IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°),则IA+IB+IC的值为()A.IB.❑√3IC.0D.不能确定解析:IA+IB+IC=Isinωt+Isin(ωt+120°)+Isin(ωt+240°)=I(sinωt+sinωtcos120°+cosωt·sin120°+sinωtcos240°+cosωtsin240°)=I(sinωt-12sinωt+❑√32cosωt-12sinωt-❑√32cosωt)=0.答案:C7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针绕点O匀速旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d=10sinπt60,其中t∈[0,60].解析:经过ts秒针转了π30trad.如图,知θ=12×π30t=πt60,则sinθ=sinπt60=d25,所以d=10sinπt60,其中t∈[0,60].8.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asinωπt+π4+60(P的单位为美元,t的单位为天,A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价为80美元,当t=150天时达到最低油价,则ω的最小值为1120.解析:因为Asin(ωπt+π4)+60的最大值为80,Sin(ωπt+π4)≤1,所以A=20.当t=150时达到最低油价,即sin(150ωπ+π4)=-1,此时150ωπ+π4=2kπ-π2,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值,所以150ωπ+π4=32π,解得ω=1120.9.当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰x/月份123456T/℃17.317.917.315.813.711.6x/月份789101112T/℃10.069.510.0611.613.715.8的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,上面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;(2)当气温不低于13.7℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.解:(1)以月份x为横轴,温度T为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接各点,如图所示.由于该地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数,依散点图所绘制的图象,我们可以考虑用T=Acos(ωx+φ)+k来描述.由最高气温为17.9℃,最低气温为9.5℃,得A=17.9-9.52=4.2,k=17.9+9.52=13.7.由于2πω=12,故ω=π6.又因为当x=2时T取得最大值,由ωx+φ=0,得φ=-ωx=-π6×2=-π3.所以T=4.2cos(πx6-π3)+13.7为惠灵顿市的月平均气温模型的函数解析式.(2)如图所示,作直线T=13.7,与函数图象交于两点(5,13.7),(11,13.7).这说明在每年的11月初至第二年的4月末气温不低于13.7℃,这是惠灵顿市的最佳旅游时间.C级挑战创新10.多空题一个单摆的平面图如图所示.设小球偏离铅锤方向的角为α(单位:rad),并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(单位:s)的函数,近似满足解析式α=Asinωt+π2,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=π3,且每经过πs小球回到初始位置,那么A=π3;α关于t的函数解析式是α=π3sin(2t+π2),t∈[0,+∞).解析:因为当t=0时,α=π3,所以π3=Asinπ2,所以A=π3.又因为周期T=π,所以2πω=π,解得ω=2.故所求的函数解析式是α=π3sin(2t+π2),t∈[0,+∞).
