课时分层作业(十九)直线与平面垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中正确说法的个数为()A．1B．2C．3D．4B[①正确，因为n∥β，α∥β，所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则还可能n⊂β；③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则还可能n⊂β，n∥β或n与β相交；④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.]2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A．－B．C．－D．B[取B1D的中点O，连接EO(图略)，则EO∥AC，因为AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，所以sin∠EBO＝＝，故选B．]3．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为()A．B．2C．D．4A[取A′D的中点N，连接PN，MN.因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A．]4．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1D[正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D．]5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FHB[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．]二、填空题6．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．4[⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．]7．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝1，则点C到平面ABC1的距离为________．[取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CF⊥C1E于点F.在正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则AB⊥CC1， △ABC是等边三角形，∴AB⊥CE.又CE∩CC1＝C，CE⊂平面CC1E，CC1⊂平面CC1E，∴AB⊥平面CC1E. CF⊂平面CC1E，∴CF⊥AB．又AB∩C1E＝E，AB⊂平面ABC1，C1E⊂平面ABC1，∴CF⊥平面ABC1，则CF的长即为所求．在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝，∴C1E＝＝，由C1E×CF＝CC1×CE，得CF＝＝.]8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个结论：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确结论的序号是________．①②③[①正确，因为AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，所以HA1＝HB＝HD，所以点H是△A1BD的外心，又因为A1B＝BD＝DA1，所以点H是△A1BD的中心．②正确．易证平面A1BD∥平面CB1D1，又因为AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.③正确．易证A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B1C，所以AC1⊥B1C，所以AC1与B1C所成的角是90°.]三、解答题9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.[证明]因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC．因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.10．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A，B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C．[证明]因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，所以BB1⊥底面ABC．因为AC⊂底面ABC，所以BB1...
