2017年高考数学基础突破——导数与积分第8讲构造函数求导与“二次求导”【知识梳理】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。【基础考点突破】考点1.构造函数求导【例1】【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．变式训练1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．考点2.利用导数构造函数证明不等式【例2】【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．变式训练2.【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数.（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，.考点3.构造函数与二次求导【例3】设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.【归纳总结】二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。变式训练3.（2012年全国卷）设函数．（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．变式训练4.（2014年山东卷）设函数（为常数，是自然对数的底数）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．【基础练习巩固】1．设函数满足，，则时，（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值2．设函数，其中．（1）当时，证明不等式；（2）设的最小值为，证明．3．已知函数，证明:当且时．4.【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．2017年高考数学基础突破——导数与积分第1讲构造函数求导与“二次求导”（学生版，后附教师版）【知识梳理】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。【基础考点突破】考点1.构造函数求导【例1】【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在上单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在上单调递减，且.当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A.变式训练1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．考点2.利用导数构造函数证明不等式【例2】【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】（I），．由得解得．故的单调递增区间是．（II）令，．则有．当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，．（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．解得，．当时，，故在内单调递增．从而当时，，即，综上，的取值范围是．变式训练2.【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数.（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当...
