课时跟踪训练(十二)函数与方程[基础巩固]一、选择题1．若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定[解析]若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f(－2)·f(2)<0，否则，f(－2)·f(2)>0，故选D.[答案]D2．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A．0B．－C．0或－D．2[解析]当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．[答案]C3．(2017·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[解析]由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断，所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点．[答案]B4．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析] f(1)＝－－1＝－2<0，f(2)＝ln2－0＝ln2－1<0.f(3)＝ln3－＝ln3－lne， 3>e，∴f(3)>0，故x0∈(2,3)，选C.[答案]C5．(2017·辽宁大连二模)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．1B．3C．2D．4[解析]作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.1[答案]B6．(2017·河北承德模拟)若函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.B．C．(－∞，0)∪D．(－∞，0)∪[解析]由题意知，当x≤0时，函数f(x)有1个零点，即2x－2a＝0在x≤0上有根，所以0<2a≤1解得0
0时函数f(x)有2个零点，只需解得a>，综上可得实数a的取值范围是0，f(3)＝33＋9－8＝28>0，故下一个有根区间为(1,2)．[答案](1,2)8．(2017·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以即解得00时，方程ax－3＝0有解，故a>0，所以当x≤0时，需满足即00)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．2图(1)[解](1)作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图(1)．可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，图(2)作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图(2)． f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[能力提升]11．(2017·云南昆明一模)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若函数f(x)，g(x)的零点分别为a，b，则有()A．g(a)<00，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以a，b存在且唯一，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，从而f(1)0，g(a)<0，即g(a)<0
