大题规范练(二)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1) {an}为等差数列，∴⇒⇒an＝2n＋1.(2) bn＝2＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，∴Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n＋1)]＝＋Gn.当n＝2k(k∈N*)时，Gn＝2×＝n，∴Tn＝＋n；当n＝2k－1(k∈N*)时，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，∴Tn＝－n－2，∴Tn＝2．(本小题满分12分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73kg(≥73kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76kg的职工被抽取到的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为＝×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为s2＝×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中的体重不轻于73kg的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A表示“抽到体重为76kg的职工”，则A包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P(A)＝＝.3．(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，M，N分别为AB，CF的中点，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合于点B，构成一个三棱锥(如图2)．(1)证明：MN∥平面AEF；(2)证明：平面ABE⊥平面BEF.证明：(1) 翻折后B，C，D重合于B点，∴MN是△ABF的一条中位线，∴MN∥AF.又 MN⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF.(2) AB⊥BE，AB⊥BF，且BE∩BF＝B，∴AB⊥平面BEF，而AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF.4．(本小题满分12分)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x3－24y08(1)求C1，C2的标准方程；(2)已知定点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求△ABC面积的最大值．解：(1)设C1：＋＝1(a＞b＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得＝1，＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，∴C1的标准方程为＋y2＝1.设C2：x2＝2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p＝1，∴C2的标准方程为x2＝2y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，由y＝x2知y′＝x，故直线AB的方程为y－t2＝t(x－t)，即y＝tx－t2，代入椭圆C1的方程，整理得(1＋4t2)x2－4t3x＋t4－4＝0，Δ＝16t6－4(1＋4t2)(t4－4)＝4(－t4＋16t2＋4)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝＝，设点C到直线AB的距离为d，则d＝＝·，∴S△ABC＝×|AB|×d＝×××＝＝≤＝，当且仅当t＝±2时，取等号，此时满足Δ＞0.综上，△ABC面积的最大值为.5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥x2lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x，令f1(x)＝f′(x)＝ex－2x，则f′1(x)＝ex－2，令f′1(x)＝0，得x＝ln2，又0＜x＜ln2时，f′1(x)＜0，x＞ln2时，f′1(x)＞0，∴f1(x)＝f′(x)在x＝ln2时取得极小值，也是最小值． f′(ln2)＝2－2ln2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴f(x)＞f(0)＝1.(2)由已知，得f′...
