3.2立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角A级基础巩固一、选择题1．三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为()A.B.C.或D.或解析：只需搞清二面角的范围是[0，π]．答案：C2．(2014·课标全国Ⅱ卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.答案：C3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉的值等于()A.B.C.D.答案：B4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，PC＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，1所以cos〈PC，n〉＝＝－，所以〈PC·n〉＝120°，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.答案：A5．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O，C1O＝，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1，0，1)所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.答案：B二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，OP＝(1，x－1，2)，BM＝(－2，0，1)．所以OP·BM＝0，所以直线BM与OP所成角为.答案：7．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦2值为________．解析：AB＝(－1，2，0)，AC＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由n·AB＝0，n·AC＝0知令x＝2，则y＝1，z＝.所以平面ABC的一个法向量为n＝.平面xOy的一个法向量为OC＝(0，0，3)．由此易求出所求二面角的余弦值．cos〈n，OC〉＝＝＝.答案：8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是________．答案：三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解：(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，EF＝，PE＝，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·EF＝0，且n·PE＝0，所以令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为AE＝，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.10．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，3法一：取A1B1的中点M，则M，连接AM、MC1，有MC1＝，AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0，a)．所以MC1·AB＝0，MC1·AA1＝0，所以MC1⊥AB，MC1⊥AA1，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，所以MC1⊥平面ABB1A1.所以∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于AC1＝，AM＝，所以AC1·AM＝0＋＋2a2＝，|AC1|＝＝a，|AM|＝＝a，所以cos〈AC1，AM〉＝＝.所以〈AC1，AM〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.法二：AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0，a)，AC1＝.设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，所以n·AB＝0且n·AA1＝0.所以ax＝0且ay＝0.所以x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．因为AC1＝，所以cos〈AC1，n〉＝＝－.所以|cos〈AC1，n〉|＝.所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.B级能力提升1．...
