高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课时训练 理 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

2.4正态分布1．正态曲线我们把函数,()x______________，(,)x（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X落在区间(,]ab的概率为()PaXb______________，即由正态曲线，过点(,0)a和点(,0)b的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间(,]ab的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a，()bab，随机变量X满足,()()dbaxPaXbx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作2(,)N．如果随机变量X服从正态分布，则记为2(,)XN～．其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线______________对称；（3）曲线在x处达到峰值（最大值）12；（4）曲线与x轴之间的面积为1；（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；1（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3原则若2(,)XN～，则对于任意的实数0a，,()d()aaPaXaxx为下图中阴影部分的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，X落在区间(,]aa的概率越大，即X集中在周围的概率越大．特别地，有()0.6826PX；(22)0.9544PX；(3PX3)0.9974．由(33)PX0.9974，知正态总体几乎总取值于区间______________之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称之为3原则．参考答案：1．22()21e2x2．,()dbaxx3．x4．(3,3)重点正态曲线的性质，与正态分布有关的概率问题难点3原则的理解及运用易错求解概率时对正态曲线的性质理解不透彻从而导致错误利用正态曲线的对称性求概率2对于正态分布2(,)N，由直线x是正态曲线的对称轴可知：（1）对任意的a，有()()PXaPXa；（2）001()()PXxPXx；（3）()()()PaXbPXbPXa．已知随机变量X服从正态分布2(2,)N，()40.76PX，则(0)PXA．0.24B．0.48C．0.52D．0.76【答案】A【解析】由2(2,)XN～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x，则(0)PX(4)PX1410().760.24PX．故选A．【名师点睛】利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．若随机变量服从正态分布(0,1)N，已知(1.9)0.028P，则||(1.9)PA．0.028B．0.056C．0.944D．0.972【答案】C【解析】由随机变量服从正态分布(0,1)N，可得(1.9)1(1.9)PP，所以||(1.9)P(1.91.9)(1.9)(1.9)12(1.9)120.0280.944PPPP．故选C．【名师点睛】针对0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式：①0()1PXx0()PXx；②()()()PaXbPXbPXa．由特殊区间求概率解决此类问题一定要把握服从2(,)N的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求概率向3()PX，(22)PX；(3PX3)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的...