课时作业9曲边梯形的面积汽车行驶的路程|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是()A.B.C.D.解析：将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.答案：C2．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.B.C.D.解析：将区间[0,1]三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝.答案：A3．求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为()A．3.92,5.52B．4,5C．2.51,3.92D．5.25,3.59解析：将区间[0,2]5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝×＝3.92，以小区间右端点对应的函数值为高，得S2＝×＝5.52.故选A.答案：A4．在求由曲线y＝与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于()A.B.C.D.解析：每个小区间长度为，第i个小区间为，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈·＝.答案：A5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为()A．1B．2C．3D．4解析：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim＝9，∴＝9，解得a＝3.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为＝，第5个小区间为.答案：7．当n很大时，可以代替函数f(x)＝x2在区间[，]上的值有________．①f()；②f()；③f()；④f(－)．解析：因为当n很大时，区间[，]上的任意的取值的函数值都可以代替，又因为∉[，]，∈[，]，∈[，]，－∈[，]，故能代替的有②③④.答案：②③④8．直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝(x>0)围成曲边梯形，将区间[1,2]进行100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是________．解析：将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)＝1，，故面积＝1×＝0.01.答案：0.01三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．解析：(1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为Δsi(i＝1,2，…，n)．1(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，得Δsi＝f()Δx＝3··＝(i－1)(i＝1,2，…，n)．(3)作和：si＝(i－1)＝[1＋2＋…＋(n－1)]＝·.(4)求极限：S＝lim(i－1)＝lim·＝.10．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动．在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解析：①分割：将时间区间[0,1]分为n等份，形成n个小区间[ti－1，ti]＝(i＝1,2，…，n)，且每个小区间长度为Δti＝(i＝1,2，…，n)．汽车在每个时间段上行驶的路程分别记作：Δs1，Δs2，…，Δsn.则显然有s＝si.②近似代替：当n很大，即Δt很小时，在区间上，函数v(t)＝－t2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值v＝－2＋2.从物理意义看，就是汽车在时间段(i＝1,2，…，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度v＝－2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是Δsi≈Δs′i＝vΔt＝·＝－2·＋(i＝1,2，…，n)．(*)③求和：由(*)得sn＝s′i＝Δt＝＝－0·－2·－…－2·＋2＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2＝－·＋2＝－＋2.④取极限：当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时，sn＝...
