高考数学一轮复习 坐标系训练 理 新人教A版选修4-4VIP专享VIP免费

【创新设计】高考数学一轮复习坐标系训练理新人教A版选修4-4[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力．2.以解答题形式出现，难度不大，如年新课标高考T23等.[归纳·知识整合]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究]1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：[探究]2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a过点，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)[自测·牛刀小试]1．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程．解：由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，故x2＋y2＝x.2.(·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1.3．在极坐标系中，求点A关于直线l∶ρcosθ＝1的对称点的一个极坐标．解：在直角坐标系中，A(0,2)，l：x＝1，点A关于l的对称点为(2,2)，所以ρ＝＝2，θ＝，所以此点极坐标为.4．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，求AB的长．解：曲线ρ＝4cosθ，即为圆x2＋y2－4x＝0，过A(3,0)且与极轴垂直的直线为x＝3，将x＝3代入x2＋y2－4x＝0，得y2＝12－9＝3，解得y＝±.故AB＝2.5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，求该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离．解：直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cosθ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是.伸缩变换的应用[例1]求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．[自主解答]由得到①将①代入＋y2＝1得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x′2＋y′2＝1.若椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为＋＝1，求满足的伸缩的变换．解：设变换为代入＋＝1，得＋＝1，与＋y2＝1的系数对比，得λ＝2，μ＝1，即因此经过变...