2.2双曲线复习指导考点一：双曲线的定义及标准方程1．双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合12||2PFPFa－＝，运用平方的方法，建立与12,PFPF的联系.2．求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线22221xyab有相同渐近线时可设所求双曲线方程为2222(0)xyab.(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.解题指导：1．双曲线的轨迹类型是12122(2a)PFPFaFF；2．双曲线标准方程的求解方法主要是”待定系数法”，“先定型，后计算”．双曲线的标准方程例题1.对于双曲线C1：221169xy和C2：221916xy，给出下列四个结论：（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是（）A．（1）（2）（4）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（2）（4）解析：由题意，双曲线C1：221169xy，C2：221916xy，（1）离心率分别为54，531（2）渐近线相同，为34yx（3）没有公共点（4）焦距相等，为1,0【答案】C例题2.35m＜＜是方程222156xymmm表示的图形为双曲线的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A考点二：双曲线的几何性质1．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程22220xyab就是双曲线22221xyab()00ab，的两条渐近线方程.2．双曲线方程中222cab＝＋，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.3．求双曲线的离心率或其范围时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用222bca＝－和cea＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.特别注意不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1)，＋这个前提条件.24．双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线22221xyab()00ab，中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率bka＝满足关系式221ek＝＋.解题指导：1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝2；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞2.2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5．渐近线与离心率22221xyab()00ab，的一条渐近线的斜率为2222221bbcaeaaa＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．构造不等式求双曲线的离心率定义法求双曲线的离心率例题1：设F1,F2是双曲线222210,0xyabab＞＞的左、右焦点,P是双曲线右支上的一点,|PF1|︰|PF2|=2︰1,且△PF1F2是以∠P为直角的直角三角形,则双曲线的离心率为()A.22B.3C.5D.6【答案】C例题2.已知点F是双曲线222210,0xyabab＞＞的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.1,B.1,2C.1,12D.2,123【答案】B例题3.双曲线22210yxbb＞的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为2,1FAB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设3b,若l的斜率存在,且110FAFBABuuuruuuruuur,求l的斜率.【答案】（1）2yx（2）155巩固练习一、单选题1．已知点P在双曲线C：22221xyab（0a，0b）上，A，B分别为双曲线C的左、右顶点，离心率为e，若ABP...
