第一章1.6微积分基本定理A级基础巩固一、选择题1．(2018·四平模拟)定积分dx的值为(A)A．B．C．πD．2π[解析] y＝，∴(x－1)2＋y2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx＝，故选A．2．(2018·铁东区校级二模)由曲线xy＝1与直线y＝x，y＝3所围成的封闭图形面积为(D)A．2－ln3B．ln3C．2D．4－ln3[解析]方法一：由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)，由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，由y＝x，y＝3可得交点坐标为(3,3)，∴由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为(3－)dx＋(3－x)dx＝(3x－lnx)|＋(3x－x2)|，＝(3－1－ln3)＋(9－－3＋)＝4－ln3故选D．方法二：由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)，由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，由y＝x，y＝3可得交点坐标为(3,3)，对y积分，则S＝(y－)dy＝(y2－lny)|＝－ln3－(－0)＝4－ln3，故选D．3．(2018·安庆高二检测)已知函数f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，则f(－x)dx＝(D)A．0B．31C．－D．[解析] f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，∴f(x)＝x2＋2x，∴f(－x)＝x2－2x，∴f(－x)dx＝(x2－2x)dx＝(x3－x2)|＝9－9－＋1＝，故选D．4．函数F(x)＝costdt的导数是(A)A．f′(x)＝cosxB．f′(x)＝sinxC．f′(x)＝－cosxD．f′(x)＝－sinx[解析]F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx．所以f′(x)＝cosx，故应选A．5．(2018·昆明高二检测)若直线l1：x＋ay－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0垂直，则积分(x3＋sinx－5)dx的值为(D)A．6＋2sin2B．－6－2cos2C．20D．－20[解析]由l1⊥l2得4－2a＝0即a＝2，∴原式＝(x3＋sinx－5)dx＝(x3＋sinx)dx＋(－5)dx＝0－20＝－20．6．dθ的值为(D)A．－B．－C．D．[解析] 1－2sin2＝cosθ，∴dθ＝cosθdθ＝sinθ＝，故应选D．二、填空题7．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为．[解析]长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝．8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝－1或．[解析]由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2．即3a2＋2a＋1＝2．解得a＝－1或．三、解答题9．计算下列定积分：(1)(4－2x)(4－x2)dx;(2)dx．[解析](1)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx＝＝32－16－＋8＝．(2)dx＝dx＝＝－3ln2．10．(2017·泉州模拟)已知f(x)＝(kx＋b)ex且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1)．(1)求k与b的值；2(2)求x·exdx．[解析](1) f(x)＝(kx＋b)ex，∴f′(x)＝(kx＋k＋b)ex，∴f′(1)＝e，f(1)＝0，即解得k＝1，b＝－1．(2)由(1)知f(x)＝(x－1)ex，f′(x)＝xex，∴(xex)dx＝(x－1)ex|＝0＋1＝1．B级素养提升一、选择题1．(2016·岳阳高二检测)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(B)A．S12．7，∴S3>3>S1>S2．故选B．2．定义在R上的可导函数y＝f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为(C)A．1B．2C．3D．4[解析]由已知得：f(x0)＝＝＝0，即x－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±，∴f(x)的平均值点有3个，故选C．二、填空题3．(x＋cosx)dx＝2．[解析](x＋cosx)dx＝(x2＋sinx)＝2．4．函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k＝3．[解析]由解得或由题意得，(kx－x2)dx＝(kx2－x3)|＝k3－k3＝k3＝，∴k＝3．三、解答题5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．[解析] f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2．①又 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，则f′(x)＝ax2＋bx＋c，∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4．6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴...
