计时双基练十六导数与函数的综合问题A组基础必做1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(00，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25。易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值。故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升。2．(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)。(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值。解(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－。当a＝0时，因为f′(x)＝3x2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减。(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f＝a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f＝b<0，从而或又b＝c－a，所以当a>0时，a3－a＋c>0或当a<0时，a3－a＋c<0。设g(a)＝a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，则在(－∞，－3)上g(a)<0，且在∪上g(a)>0均恒成立，从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1。此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪∪。综上c＝1。3．(2015·北京卷)已知函数f(x)＝ln。(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)>2；(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值。解(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2。又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x。(2)令g(x)＝f(x)－2，则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝。因为g′(x)>0(0g(0)＝0，x∈(0,1)，即当x∈(0,1)时，f(x)>2。(3)由(2)知，当k≤2时，f(x)>k对x∈(0,1)恒成立。当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝。所以当02时，f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立。综上可知，k的最大值为2。B组培优演练1．(2015·东北三校联考)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围。解(1) 函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减。(2)假设存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max， φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴φ′(x)＝＝－。①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1。②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0。③当00，φ(x)在(t,1]上单调递增，所以2φ(t)
