专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.(2019辽宁沈阳东北育才中学模拟,8)已知函数f(x)=2ef'(e)lnx-xe,则f(x)的极大值点为()A.x=1eB.x=1C.x=eD.x=2e3.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2-x+a2与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能是()4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.13C.2D.55.已知函数f(x)=xlnx+ax+1只有一个零点,则a的取值范围为.6.(2019湖北仙桃、天门、潜江联考,15)已知函数f(x)=12asin2x-(a+2)cosx-(a+1)x在区间[-π2,π2]上无极值,则f(x)在区间[-π2,π2]上的最小值是.7.(2019河南名校联盟调研,20)已知函数f(x)=mx3-2x2.(1)若m=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-mx2在区间[1,3]上单调递增,求实数m的取值范围.8.设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在区间[k,-k]上的最小值m和最大值M.9.已知函数f(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在区间(0,+∞)内的极值.10.(2019全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.二、思维提升训练11.若0lnx2-lnx1B.ex2−ex1x1ex2D.x2ex10,得02e.所以函数f(x)在区间(0,2e)内单调递增,在区间(2e,+∞)内单调递减,因此f(x)的极大值点为x=2e.3.B解析显然当a=0时,D中图象是可能的,当a≠0时,由y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)求导得y'=3a2x2-4ax+1,令y'=0,得x=1a或x=13a.函数y=ax2-x+a2的图象的对称轴为x=12a,不管a>0还是a<0,都有12a在1a与13a之间,而由B中图象可知1a<13a<12a.因此B项中图象不可能.当a>0时,可判断得A,C项中图象都有可能.4.C解析依题意得f'(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-2b3a,-2×3=c3a,则b=-3a2,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.(-∞,0]∪{1e}解析 f(x)=xlnx+ax+1只有一个零点,∴xlnx+a=0只有一个解,即a=-xlnx只有一个解.设g(x)=-xlnx(x>0),则g'(x)=-lnx-1=-(lnx+1),∴当00;当x>1e时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(0,1e)内单调递增,在区间(1e,+∞)内单调递减,∴当x=1e时,g(x)取得最大值g(1e)=1e,且当x→0时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→-∞. a=g(x)只有一个解,∴a≤0或a=1e.6.-3π2解析f'(x)=acos2x+(a+2)sinx-a-1=a(1-2sin2x)+(a+2)sinx-a-1=-2asin2x+(a+2)sinx-1=-(2sinx-1)(asinx-1).因为当f'(x)=0时一定有sinx=12,即x=π6∈[-π2,π2],所以要使f(x)无极值,则a=2,此时f'(x)=-(2sinx-1)2≤0恒成立,即f(x)在区间[-π2,π2]上单调...
