备战数学分类突破赢高考71．已知函数f(x)＝4sinωxcos＋(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．解：(1)f(x)＝4sinωx＋＝2sinωxcosωx－2sin2ωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin.∵T＝＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝2sin.(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则P(A)＝＝＝.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.(2)由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.所以随机变量X的分布列为：X0123P从而有E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，所以随机变量X的数学期望为1.3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线．(1)求证：EF⊥A1C；(2)当平面DAB与平面CA1B1所成锐二面角的余弦值为时，求DC1的长．解：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC∥平面A1B1C1.又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B1C1∩平面ABD＝EF，∴EF∥AB.∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，∴AB⊥AA1，AB⊥AC.而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.∴EF⊥A1C.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C1D＝t(t＞0)，则B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,2＋t)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)．∴＝(1,0,0)，＝(0,2，－2)．设平面CA1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则得令z1＝1，则y1＝1，∴n＝(0,1,1)．同理可求得平面DAB的一个法向量为m＝.由|cos〈n，m〉|＝＝，得t＝1或t＝－(舍去)．∴DC1＝1.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn＜(n∈N*)的n的最大值．解：(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，∴2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1.又b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.(2)∵cn＝log2＝log22n＝n，∴＝＝－，∴Tn＝＋＋＋…＋＋＝1＋－－.由Tn＜，得1＋－－＜，即＋＞.设f(n)＝＋(n∈N*)，则f(n)＝＋单调递减，∵f(4)＝，f(5)＝，∴n的最大值为4.
