第3讲导数的概念及其简单应用导数的几何意义及导数的运算1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cosx的图象与直线l相切于Ρ点,若l⊥m,则Ρ点的坐标可能是(B)(A)（-,-）(B)（,）(C)（,）(D)（-,-）解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cosx的图象与直线l相切于Ρ点,也就是函数在P点的导数值为2,而y′=3-sinx=2,解得sinx=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析:由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.答案:5x+y-3=0利用导数研究函数的单调性3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为(A)(A)(0,+∞)(B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞)(D)(3,+∞)解析:不等式f(x)>+1可以转化为exf(x)-ex-3>0令g(x)=exf(x)-ex-3,所以g′(x)=ex(f(x)+f′(x))-ex=ex(f(x)+f′(x)-1)>0,所以g(x)在R上单调递增,又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)>0x>0,⇒即不等式的解集是(0,+∞).故选A.4.(2014辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(C)(A)[-5,-3](B)[-6,-](C)[-6,-2](D)[-4,-3]解析:当x∈(0,1]时,得a≥-3()3-4()2+,令t=,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,当x∈[-2,0)时,得a≤-2.由以上两种情况得-6≤a≤-2.显然当x=0时对任意实数a不等式也成立.故实数a的取值范围为[-6,-2].5.(2015河南郑州市第二次质检)已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈[0,)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有.(1)f(-)f(-)(3)f(0)0,所以为增函数.所以>,所以f()>f(),又因为f(x)为偶函数,所以f(-)>f(),f(-)>f(-).故(2)正确,(1)错误.因为<,所以f(0)2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.解析:令f(x)=x3+ax+b,则f′(x)=3x2+a.当a≥0时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,④⑤合题.对于①,由a=b=-3,得f(x)=x3-3x-3,f′(x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=-1<0,f(x)极小值=f(1)=-5<0,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根;对于②,由a=-3,b=2,得f(x)=x3-3x+2,f′(x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=4>0,f(x)极小值=f(1)=0,函数f(x)的图象与x轴有两个交点,故x3+ax+b=0有两个实根;对于③,由a=-3,b>2,得f(x)=x3-3x+b,f′(x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=2+b>0,f(x)极小值=f(1)=b-2>0,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根.答案:①③④⑤【教师备用】(2015上饶三模)已知函数f(x)=(mx+1)(lnx-3).(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))满足lnx1lnx2=3ln(x1·x2)-8,(x1≠x2),判断是否存在点P(m,0),使得∠APB为直角?说明理由;(3)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.解:(1)f′(x)=(lnx-3)+(x+1)·,则f′(1)=-1,f(1)=-6,所以切线方程为x+y+5=0.(2)不存在点P(m,0),使得∠APB为直角,依题意得=(x1-m,f(x1)),=(x2-m,f(x2)),·=(x1-m)(x2-m)+f(x1)f(x2)=(x1-m)(x2-m)+(mx1+1)(lnx1-3)(mx2+1)(lnx2-3)=x1x2-m(x1+x2)+m2+[m2x1x2+m(x1+x2)+1]·[lnx1lnx2-3(lnx1+lnx2)+9]=x1x2-m(x1+x2)+m2+[m2x1x2+m(x1+x2)+1]=(1+m2)(x1x2+1)>0,所以不存在实数m,使得∠APB为直角.(3)f′(x)=m(lnx-3)+(mx+1)·==,若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,有mx(lnx-2)+1≥0在(0,+∞)上恒成立,设h(x)=x(lnx-2),h′(x)=lnx-1,h(x)在(0,e)是减函数,在(e,+∞)是增函数,所以h(x)的值域为[-e,+∞),即mt+1≥0在[-e,+∞)上恒成立.有解得0≤m≤.利用导数研究函数的极值与最值7.设...
