第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题一、填空题1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝02．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为________．解析 f′(x)＝－asinx，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.答案13．(2015·邯郸模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值为________．解析 y′＝3x2＋a.∴y′|x＝1＝3＋a＝k，又3＝k＋1，∴k＝2，∴a＝－1.又3＝1＋a＋b，∴b＝3，∴2a＋b＝－2＋3＝1.答案14．(2015·武汉模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________．解析依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－×2＝－1，a＝2.答案25．(2015·扬州模拟)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案(－∞，2ln2－2]6．已知f(x)＝x3＋f′x2－x，则f(x)的图象在点处的切线斜率是________．解析f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，可得f′＝3×＋2f′×－1，解得f′＝－1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是－1.答案－17．(2015·南京、盐城模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.答案(－4，0)18．(2015·安徽卷)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.解析令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，则需f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案①③④⑤二、解答题9．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．解f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)的极值点，故a＝16.(2)由(1)知f′(x)＝.当－13时，f′(x)>0；当1162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21
