3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系A级基础巩固一、选择题1．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝⇒x＝6，y＝.答案：D2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)解析：AB＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．答案：A3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断解析：因为a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，所以a∥b，所以α∥β.答案：A4．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交解析：因为AB＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.答案：C5．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m为()A．－4B．－6C．－8D．8解析：因为l∥α，所以l的方向向量与面α法向量垂直，所以(2，m，1)·＝2＋m＋2＝0，所以m＝－8.答案：C二、填空题6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．解析：因为α∥β，所以u1∥u2.所以＝＝.所以y＝1，z＝－4.所以y＋z＝－3.答案：－37．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝，若a∥b，则k＝________．1解析：①当k＝0时，a与b不平行．②当k≠0时，由＝＝解得k＝－2.答案：－28．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．答案：2∶3∶(－4)三、解答题9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是MN＝，DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以MN⊥n.又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.法二：因为MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，所以MN∥DA1，而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.10.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，则点N、E的坐标分别是2、(0，0，1)．所以NE＝.又点A、M的坐标分别是(，，0)、，所以AM＝.所以NE＝AM，且A∉NE，所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.B级能力提升1．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点中在平面α内的是()A．(1，－1，1)B.C.D.答案：B2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，则平面ABC的一个单位法向量为________．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．因为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，所以AB＝(－2，1，3)，BC＝(1，－1，0)，则有即解得令z＝1，则x＝y＝3.故平面ABC的一个法向量为n＝(3，3，1)．故平面ABC的一个单位法向量为或－即(3，3，1)或－(3，3，1)．答案：或3.如图，四棱柱PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，3设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，PD＝(0，2，－1)，因为PE∥PD，所以y(－1)－2(z－1)＝0，①因为AD＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，又CE＝(－1，y－1，z)由CE∥面PAB，所以CE⊥AD，所以(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0.所以y＝1，代入①得z＝，所以E是PD的中点，所以存在E点为PD中点时，CE∥平面PAB.4
