课时作业18抛物线的简单几何性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(C)A．y2＝－11xB．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x解析：在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得x＝－，∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.2．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(C)A．y2＝xB．y2＝－xC．y2＝±xD．y2＝±x解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(±，)(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.3．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：由题意可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(D)A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，联立，得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.故选D.5．若P(x0，y0)是抛物线y2＝－32x上一点，点F为抛物线的焦点，则|PF|＝(C)A．x0＋8B．x0－8C．8－x0D．x0＋16解析：由题意可知抛物线开口向左，且p＝＝16，因此抛物线的准线方程为x＝8，因此|PF|＝8－x0.6．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为(C)A．5B．6C．8D．10解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.7．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(B)A．2B．2C．2D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.1由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.∴|AB|＝＝＝＝2.8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(A)A.B.C.D.解析：记抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，所以cos60°＝＝，由此得＝.二、填空题9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝2.解析：直线y＝x－，故，∴x2－3px＋＝0，|AB|＝8＝x1＋x2＋p，∴4p＝8，p＝2.10．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为y2＝4x.解析：设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝k.又 P(2,2)为AB的中点，∴＝2.∴k＝4.∴y2＝4x.11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝8.解析：设准线交x轴于点B，O为坐标原点，依题意kAF＝－，则∠AFO＝60°.又|BF|＝4，所以|AB|＝4，则点P的纵坐标为4，所以(4)2＝8xp，得xp＝6，即点P的横坐标为6，所以|PF|＝|PA|＝8.三、解答题12．已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y＝x＋所得的弦长|P1P2|＝4，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2＋(3＋2p)x＋＝0①，判别式Δ＝(3＋2p)2－9＝4p2＋12p>0，解得p>0或p<－3(舍)，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则①中由根与系数的关系得x1＋x2＝－(3＋2p)，x1·x2＝，代入弦长公式得·＝4，解得p＝1或p＝－4(舍)，把p＝1代入抛物线方程y2＝－2px(p>0)中，得y2＝－2x.综上，所求抛物线方程为y2＝－2x.13．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛...
