1.3~1.4教材解读一、函数的单调性与导数（1）设函()yfx在某个区间()ab，内可导，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数()yfx的定义域；②求()fx，令()0fx，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；③把各实根按由小到大顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义域分成若干个小区间；④确定()fx在各个小区间内的符号，根据()fx的符号判定函数()fx在第个相应小开区间内的增减性．注意事项：（1）导数与函数的单调性的关系（以下以增函数为例）．①()0fx能推出()fx为增函数，但反之不一定．如函数3()fxx在()，∞∞上单调递增，但()0fx≥．所以()0fx是()fx为增函数的充分条件，但不是必要条件．②()fx为增函数，一定可以推出()0fx≥，但反之不一定，因为()0fx≥，即为()0fx或()0fx，当函数在某个区间内恒有()0fx，则()fx为常数，函数不具有单调性．所以()0fx≥是()fx为增函数的必要条件，但不是充分条件．③()fx为增函数的充要条件是对任意的()xab，都有()0fx≥且在()ab，内的任一非空子区间上()0fx．（2）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．不能把一个单调区间分成两个单调区间，例如：函数(0)2(0)xxyxx，，≤其单调区间为()，∞∞不应写成(0)，∞和(0)，∞．也不能把本来不是一个单调区间的，合写成一个单调区间，例如函数1yx，其单调区间只能是(0)，∞及(0)，∞，而不能写成()，∞∞．因为0不在其定义域内，也不能滥用并集符号，如写成(0)(0)，，∞∞也是错误的．二、函数的极值与导数（1）极值的概念已知函数()yfx，设0x是定义域内任一点，如果对0x附近的所有的点x，都有00()()(()())fxfxfxfx，则称0()fx为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点．（2）求可导函数()yfx的极值的方法：解方程()0fx，当()0fx时：①如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是极大值；②如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是极小值．注意事项：用心爱心专心（1）概念的说明：①极值点总是()fx定义域中内部的点，不会是端点．②函数()fx在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值，没有必然的大小关系，极小值不一定比极大值小．（2）极值点与导数为0的点的关系．可导函数()fx在点0x取得极值的充要条件是0()0fx，且在0x左侧与右侧()fx的符号不同，很明显，()0fx是0x为极值点的必要条件，但不是充分条件．（3）函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数()fxx，在0x处，左侧(0)()10xfx，右侧(0)()10xfx，当0x时，()0fx是()fx的极小值，但(0)f不存在．三、函数的最大（小）值与导数设()yfx是定义在区间[]ab，上的可导函数，求函数()yfx在[]ab，上的最大值与最小值，可分两步进行．第一步：求()yfx在()ab，内的极值．第二步：将()yfx的各极值与()()fafb，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：若函数()fx在[]ab，上单调增加，则()fa为函数的最小值，()fb为函数的最大值；若函数()fx在[]ab，上单调减小，则()fa为函数的最大值，()fb为函数的最小值．四、运用导数解决生活中优化问题的三个步骤（1）理解题意，将实际问题抽象成数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()yfx；（2）求函数的导数()fx，解方程()0fx；（3）比较函数在区间端点和使()0fx的点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值．用心爱心专心
