2.5指数与指数函数[课时跟踪检测][基础达标]1.(2017年北京卷)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)()A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析：∵f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又函数y1＝3x在R上为增函数，y2＝x在R上为减函数，∴y＝3x－x在R上为增函数．故选A.答案：A2.设a＝22.5，b＝2.50，c＝2.5，则a，b，c的大小关系是()A.a＞c＞bB．c＞a＞bC.b＞a＞cD．a＞b＞c解析：a＞1，b＝1,0＜c＜1，所以a＞b＞c.答案：D3.已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A.[9,81]B．[3,9]C.[1,9]D．[1，＋∞)解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故f(x)的值域为[1,9]．答案：C4.(2018届贵州适应性考试)函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是()A.(0,0)B．(0，－1)C.(－2,0)D．(－2，－1)解析：解法一：因为函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．解法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．答案：C5.已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是()解析：由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0,0＜a＜1，故y＝ax＋k在R上单调递减，排除A、C，又当x＝0时y＝ak>1，故选B.答案：B6.若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A.B．C.D．解析：依题意，a应满足解得＜a≤.答案：C7.已知函数f(x)＝在区间[1,2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是()A.a≤－4B．a≤－2C.a≥－2D．a>－4解析：由复合函数单调性知，t＝x2＋ax应在[1,2]单调递增，所以－≤1，即a≥－2，故选C.答案：C8.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－a－1，若f(－1)＝，则a等于()A.1B．－1C．3D．－3解析：因为f(x)是奇函数，所以f(1)＝21－a－1＝－f(－1)＝－，即21－a＝＝2－2，∴a＝3，故选C.答案：C9.函数f(x)＝21－|x|的图象是()解析：f(x)为偶函数，排除A、D，又x>0时，f(x)＝21－x＝为减函数，排除B，故选C.答案：C10.(2018届安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(2018)＝________.解析：f(2018)＝f(2)＝f(－2)＝－2＝4.答案：411.不等式＞x＋4的解集为________．解析：不等式＞x＋4可化为x2－2x＞，等价于x2－2x＜x＋4，即x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4.答案：{x|－1＜x＜4}12.当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：原不等式变形为m2－m＜x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.答案：(－1,2)13.化简下列各式：解：(1)＋100＋－3＋＝100.14.已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性，并证明．解：(1)f(x)的定义域是R，令y＝，得2x＝－.∵2x＞0，∴－＞0，解得－1＜y＜1.∴f(x)的值域为{y|－1＜y＜1}．(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)＝＝1－，设x1，x2是在R上任意两个实数，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝，∵x1＜x2，∴2x2＞2x1＞0，从而2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，2x1－2x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)为R上的增函数．[能力提升]1.(2017届山东潍坊三模)已知a＝，则()A.a＜b＜cB．b＜c＜aC.c＜b＜aD．b＜a＜c解析：因为a＝，c＝，显然有b＜a，又a＝＝c，故b＜a＜c.答案：D2.若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是()A.(2，＋∞)B．(0，＋∞)C.(0,2)D．(0,1)解析：在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．答案：C3.(2017届陕西西安二模)若函数f(x)＝ax－2－2a(a＞0，a≠1)的图象恒过定点，则函数f(x)在[0,3]上的最小值等于________．解析：令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1－2a)，因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝x－2－，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(3)＝－.答案：－4.若不等式(m2－m)2x－x＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：(m2－m)2x－x＜1可变形为m2－m＜x＋2.设t＝x，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.答案：(－2,3)
