2018版高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.4基本不等式模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．已知x，y∈R＋，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选A.2．[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4答案C解析由≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”，选C.3．已知a>0，b>0,2a＋b＝1，则＋的最小值是()A．4B.C．8D．9答案D解析∵2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.4．函数y＝(x>1)的最小值是()A．2＋2B．2－2C．2D．2答案A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝1＋时取等号．5．[2017·浙江考试院抽测]若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()A.B.C.D.答案B解析对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．6．[2017·广州模拟]已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．答案2解析因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy.所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x＋y的最大值为2.7．函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________．答案2＋2解析因为y＝2x＋(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x＝1＋时取等号，故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为2＋2.8．函数f(x)＝－10,1－2x>0，且(2x＋2)＋(1－2x)＝3.由基本不等式可得(2x＋2)＋(1－2x)≥2当且仅当2x＋2＝1－2x，即x＝－时等号成立，即≤.所以f(x)＝≤×＝.9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，∴x＋y的最小值为18.10．[2016·郑州模拟]若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)因为a>0，b>0，且＋＝，所以＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号．因为a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4>6，故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·安庆模拟]设实数m，n满足m>0，n<0，且＋＝1，则4m＋n()A．有最小值9B．有最大值9C．有最大值1D．有最小值1答案C解析因为＋＝1，所以4m＋n＝(4m＋n)＋＝5＋＋，又m>0，n<0，所以－－≥4，当且仅当n＝－2m时取等号，故5＋＋≤5－4＝1，当且仅当m＝，n＝－1时取等号，故选C.12．设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为()A．3＋2B．6C．4D．2答案A解析由题可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时等号成立，故选A.13．已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．答案16解析因为a>b>0，所以b(a－b)≤2＝，当且仅当a＝2b时等号成立．所以a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16，当且仅当a＝2时等号成立．所以当a＝2，b＝时，a2＋取得最小值16.14．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.
