课时跟踪练(六十)A组基础巩固1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔故或答案：C2．已知方程ax2＋by2＝1的曲线经过点(0，2)与(1，)，则a＋b为()A.B.C．1D.解析：由题意得解得所以a＋b＝，故选B.答案：B3．已知动圆Q过定点A(2，0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹C的方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．x2＝2yD．x2＝4y解析：设Q(x，y)，因为动圆Q过定点A(2，0)且与y轴截得的弦MN的长为4，所以＋|x|2＝|AQ|2，所以|x|2＋22＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2＝4x，故选B.答案：B4．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为()A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，所以即因为点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，所以y1＝2x1－4，所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.答案：B5．(2019·漳州八校联考)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0，则点G的轨迹方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.－＝1D.－＝1解析：由NP＝2NQ，GQ·NP＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，所以|GN|＝|GP|，所以|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，所以点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝2，所以b2＝4，所以点G的轨迹方程为＋＝1，故选A.答案：A6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程是________．解析：AB＝－(－2，y)＝，BC＝(x，y)－＝，因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，所以·＝0，即y2＝8x.所以动点C的轨迹方程为y2＝8x.答案：y2＝8x7．(2019·梅州质检)在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为________．解析：以BC的中点为原点，中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝2<4＝|BC|.所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，所以b＝，所以轨迹方程为－＝1(x>)．答案：－＝1(x>)8．(2019·武汉模拟)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是________．解析：作P关于O的对称点M，连接F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，所以PF1＋PF2＝PM＝－2OP.又OQ＝PF1＋PF2，所以OP＝－OQ.设Q(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝－，且y0＝－，又点P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，则有＋＝1，即＋＝1.答案：＋＝19.如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若PN＝λNM.(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1，0)，且x＝x1，所以PN＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，NM＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，由PN＝λNM得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.因为P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，则＋y＝1，所以＋(1＋λ)2y2＝1，故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，解得λ＝－或λ＝－.所以当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．10．(2019·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC·BC＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)连接CP，OP，由AC·BC＝0，知AC⊥BC，所以|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，由垂径定理知，|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x，y)，则(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得x2－x＋y2＝4.所以点P的轨迹T的方程为x2－x＋y2＝4.(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，其中＝1.所以p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，由方程组得x2＋3x－4＝0，解得x＝1...
