考点规范练16导数的综合应用基础巩固1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)
1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.13.已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对数的底数.(1)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x>0时,求证:f(x)≥a;(3)若在区间(1,e)内,>1恒成立,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=sinx-ax,ln2>sin,ln.2(1)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,h(x)=x(lnx-1)-f'(x),证明h(x)存在唯一极值点.能力提升5.已知函数f(x)=ax2+bx-c-lnx(x>0)在x=1处取极值,其中a,b为常数.(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取极值-1-c,且不等式f(x)≥-2c2恒成立,求实数c的取值范围;(3)若a>0,比较lna与-2b的大小.36.设函数f(x)=x2+bx-alnx.(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.7.已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.4高考预测8.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)若方程g(x)=2exf(x)存在两个不等实根x1,x2,且x1,x2∈,求实数a的取值范围.5参考答案考点规范练16导数的综合应用1.解(1) f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-与x=1处都取得极值,∴f'a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-,b=-2,∴f(x)=x3-x2-2x+c,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x1=-,x2=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗6∴函数f(x)的单调递增区间为与(1,+∞);单调递减区间为.(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-时,f+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).2.(1)解f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0有x=.当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)证明令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1.当x>1时,s'(x)>0,所以ex-1>x,从而g(x)=>0.(3)解由(2),当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当01.7由(1)有f0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x-=>0.因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a∈.3.(1)解 f'(x)=,∴f'(2)==2,∴a=4.(2)证明令g(x)=a,则g'(x)=a.令g'(x)>0,得x>1;g'(x)<0,得01在区间(1,e)内恒成立,即使-1>0在区间(1,e)内恒成立,8即>0在区间(1,e)内恒成立.令h(x)=alnx+1-x,则h'(x)=-1.令h'(x)>0,解得xe时,h(x)在(1,e)内单调递增,所以h(x)>h(1)=0.当10,得sinx-ax>0. 0g(1)=sin1,∴a≤sin1,故a的取值范围是(-∞,sin1).(2)证明 h(x)=xlnx-x-cosx,∴h'(x)=lnx+sinx.当x∈[1,e]时,lnx≥0,sinx>0,∴h'(x)>0;当x∈(e,...
