6个解答题综合仿真练(三)1．已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，cos2x)．(1)当x＝时，求m·n的值；(2)若x∈，且m·n＝－，求cos2x的值．解：(1)当x＝时，m＝，n＝，所以m·n＝－＝.(2)m·n＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x－＝sin－，若m·n＝－，则sin－＝－，即sin＝，因为x∈，所以－≤2x－≤，所以cos＝，则cos2x＝cos＝cos×cos－sinsin＝×－×＝.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF.证明：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD.又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF.又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)求时间T最短时cosθ的值．解：(1)如图，过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，OF＝＝，EF＝1＋，＝θ，所以T(θ)＝＋＝＋＋，θ∈.(2)由(1)知，T(θ)＝＋＋，θ∈，T′(θ)＝－＝＝－，记cosθ0＝，θ0∈，则T(θ)，T′(θ)随θ的变化情况如表所示：θθ0T′(θ)－0＋T(θ)极小值故当cosθ＝时，时间T最短．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP＝TM，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，所以＋＝1.因为e2＝＝，所以＋＝1，又a2＝b2＋c2，＋＝1，解得b2＝4或b2＝8(舍去)．所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝.因为MN∥l，所以＝，因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝.所以＝×＝.(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而AP＝(－x1，－k－y1)，TM＝(x2－1，y2)， AP＝TM，∴－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝，①由(2)知x1＋x2＝，②联立①②得x1＝，x2＝.又x1x2＝，∴50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－(舍去)．又因为k＞0，所以k＝.5．定义：从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列．(1)求数列1，，，，的等比子列；(2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1.①试给出一个{an}，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)；②若{an}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．解：(1)显然从数列中抽取四项或五项时，不存在等比子列，当抽取三项时，设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k(1≤k≤3，k∈N*)，当k＝2时，①设，，成等比数列，则＝×，即m＝n＋＋2,当且仅当n＝1时，m∈N*，此时m＝4，所求等比子数列为1，，；②设，，成等比数列，则＝×，即m＝n＋1＋－2∉N*;当k＝3时，数列1，，；，，；，，均不成等比数列；当k＝1时，显然数列1，，不成等比数列．综上，所求等比子数列为1，，.(2)①形如：a1，－a1，a1，－a1，a1，－a1，…(a1≠0，q＝－1)均存在无穷项，等差子数列：a1，a1，a1，…或－a1，－a1，－a1.②设{ank}(k∈N*，nk∈N*)为{an}的等差子数列，公差为d，当|q|>1时，|q|n>1，取nk>1＋log|q|，从而|q|nk－1>，故|ank＋1－ank|＝|a1qnk＋1－1－a1qnk－1|＝|a1||q|nk－1·|qnk＋1－nk...
