高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步 第7节 空间角与距离高考AB卷 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第7节空间角与距离高考AB卷理直线与平面所成的角及二面角1.(2014·全国Ⅱ，11)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，∴AN＝(－1，0，－2)，BM＝(1，－1，－2)，∴cos〈AN，BM〉＝＝＝＝，故选C.答案C2.(2013·大纲全国，10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析设AB＝1，则AA1＝2，分别以D1A1、D1C1、D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.如图所示：则D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2).DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，－2)，DC＝(0，1，0)，设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即，取n＝(－2，2，1).设CD与平面BDC1所成角为θ则sinθ＝＝，故选A.答案A3.(2012·全国，19)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小.(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC.(2)解由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直.以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向，|CA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2).则A1D＝(0，0，－1)，BD＝(1，－1，1)，DC1＝(－1，0，1).设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n＝(1，1，0).同理，设m＝(x1，y1，z1)是平面C1BD的法向量.则即可取m＝(1，2，1).从而cos〈n，m〉＝＝.故二面角A1－BD－C1的大小为30°.空间距离4.(2012·大纲全国，4)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.C.D.1解析连接AC交BD于点O，连接OE， AB＝2，∴AC＝2.又CC1＝2，则AC＝CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为CH的中点.由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥平面EOC，∴CM⊥BD.∴CM⊥平面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离.又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH＝2.∴HM＝1.答案D直线与平面所成的角及二面角1.(2014·广东，5)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(－1，1，0)B.(1，－1，0)C.(0，－1，1)D.(－1，0，1)解析设选项中的向量与a的夹角为θ，对于选项A，由于cosθ＝＝－，此时夹角θ为120°，不满足题意；对于选项B，由于cosθ＝＝，此时夹角θ为60°，满足题意.故选B.答案B2.(2014·四川，8)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是()A.B.C.D.解析易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→→∠C1OA1(点P为线段CC1的中点时，α＝)，由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sinα的取值范围是[，1].答案B3.(2013·山东，4)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.解析如图所示，由棱柱体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP长为＝2.故∠PAO＝，即PA与平面ABC所成的角为.答案B4.(2015·四川，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________.解析建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝1，则AF＝，E，设M(0，y，1)(0≤y≤1)，则EM＝，∴cosθ＝＝－.设异面直线所成的角为α，则cosα＝|cosθ|＝＝·，令t＝1－y，则y＝1－t， 0≤y≤1，∴0≤t≤1，那么cosα＝|cosθ|＝·...