2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布课时作业16正态分布新人教A版选修2-3一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于标准正态分布N(0,1)的密度函数f(x)＝e－，下列说法不正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(x)的最大值是C．f(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数D．f(x)关于x＝1是对称的解析：由正态分布密度函数知μ＝0，即图象关于y轴对称．答案：D2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是()A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2解析：正态密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝.所以C1沿着横轴方向向右移动2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值μ增加了2个单位．答案：C3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.447B．0.628C．0.954D．0.977解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(ξ＞2)＝0.023.∴P(ξ＜－2)＝0.023.∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C4．(2015·武汉市重点中学高二期末联考)随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于()A．1B．10C．2D.解析：∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称，所以x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)15．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝________.解析：因为P(ξ＞1)＝p，所以P(0＜ξ＜1)＝0.5－p，故P(－1＜ξ＜0)＝P(0＜ξ＜1)＝0.5－p.答案：0.5－p三、解答题(每小题10分，共20分)7．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X＞4)．解析：(1)由X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，∵P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)，∴P(0＜X＜4)＝2P(0＜X＜2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X＞4)＝[1－P(0＜X＜4)]＝(1－0.4)＝0.3.8．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量得大，那么他应选择哪个方案？解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N(8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3＜ξ≤8＋3)＝P(5＜ξ≤11)＝0.6826.所以P(ξ≤5)＝[1－P(5＜ξ≤11)]＝(1－0.6826)＝0.1587.所以P(ξ＞5)＝1－0.1587＝0.8413.对于第二套方案ξ～N(3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P(3－2＜ξ≤3＋2)＝P(1＜ξ≤5)＝0.6826，所以P(ξ＞5)＝[1－P(1＜ξ≤5)]＝(1－0.6826)＝0.1587.所以应选择第一方案．9．(10分)已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，某密度函数图象如图所示．2(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比．解析：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．(2)∵P(7500＜ξ≤8500)＝P(8000－500＜ξ≤8000＋500)＝0.6826.∴P(8000＜ξ≤8500)＝P(7500＜ξ≤8500)＝0.3413.∴此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比为34.13%.3
