解答题滚动练81．(2017·江苏溧阳中学模拟)在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE＝4DE，点M是线段SD上一点．(1)求证：BC⊥AM；(2)若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS.证明(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，又AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM.(2)∵AM⊥平面SBC，SD⊂平面SBC，∴AM⊥SD.设SA＝1，则AD＝，SD＝，AM＝，SM＝，MD＝.∴SM＝4MD.又AE＝4DE，∴ME∥SA，又ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS，∴EM∥平面ABS.2．(2017·江苏郑集高级中学质检)在△ABC中，已知(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC.(1)求角A的值；(2)求sinB－cosC的最大值．解(1)因为(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC，由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由A＝，得B＋C＝，所以sinB－cosC＝sinB－cos＝sinB－＝sin，因为0＜B＜，所以＜B＋＜，当B＋＝，即B＝时，sinB－cosC取最大值1.3．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．1(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17°＝，≈5.7446)；(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解(1)如图甲，设缉私艇在点C处拦截到走私船．在△ABC中，B＝120°，AB＝4，设BC＝a，AC＝3a.由正弦定理，得＝，所以sinA＝.因为B＝120°，所以A为锐角，从而A＝17°.由余弦定理，得(3a)2＝42＋a2－2×4acos120°，即2a2－a－4＝0，解得a＝≈1.7.点B到l的距离为3.8－2＝1.8，而a＜1.8，所以点C在领海内．答缉私艇的追击方向应为北偏东47°.(2)如图乙，以A为原点，正北方向为y轴正方向，1海里为1个单位长度，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(2,2)，直线l的方程为x＝3.8.设缉私艇在点P(x，y)处拦截到走私船．由AP＝3BP，得x2＋y2＝9[(x－2)2＋(y－2)2]．整理，得2＋2＝.点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆．圆心M到直线l的距离d＝3.8－＝1.55＞r，所以直线l与圆M外离，即点P总在领海内．答无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.2(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.(1)解设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，所以k1k2＝·＝＝＝－.(2)解由题意得直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，设P(xp，yp)，解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝，联立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，设B(xB，yB)，解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝，所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC，(3)证明当直线PQ与x轴垂直时，Q，则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC必过点Q.当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为y＝，联立，解得xQ＝，yQ＝，所以kAQ＝＝－＝k2，故直线AC必过点Q.3
