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高考数学 专题2.4 探求三角形最值范围的各类妙法小题大做-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 专题2.4 探求三角形最值范围的各类妙法小题大做-人教版高三全册数学试题_第1页
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专题2.4探求三角形最值范围的各类妙法一、典例分析,融合贯通题型一与角有关的最值或范围问题典例1设△ABC的内角为A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=c.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求tan(A-B)的最大值.【解析】:(Ⅰ)由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sinC=(sinAcosB+sinBcosA),所以sinAcosB=4sinBcosA,故=4.解2:(Ⅱ)由(Ⅰ)得0<A<B<.sinAcosB-sinBcosA=sinC=sin(A-B),所以sin(A-B)的最大值为,故tan(A-B)的最大值为.解3:由tanA=4tanB得:作CH⊥AB于H,则4AH=BH.在BH上取一点A1,使A1H=AH,则∠A=∠AA1C,所以A-B=∠AA1C-∠ABC=∠BCA1.显然,当过A1,B的圆与CH相切于C1时,∠BC1A1为∠BCA1的最大值.题型二与边有关的最值或范围问题例3已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,且a=2,则△ABC面积的最大值为____.解3:由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,整理可得a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=,所以A=.因为a=2,所以A在以BC为弦,以为半径的圆上,所以△ABC面积的最大值为.【变式训练】△ABC中,A=,a=2,求2b+c的最大值.解1:由正弦定理可得2b+c=(2sinB+sinC)=[2sin(C+)+sinC]=(2sinC+cosC)=sin(C+φ).故2b+c的最大值为.解2:==.令=t,t>0,f(t)===-+1,所以=,即t=时,取得最小值,所以2b+c此时取得最大值.【点睛】(1)正弦定理、余弦定理与三角形面积公式综合使用是高考命题的趋势,解题时要综合分析其中的数量关系,得出方程,通过解方程求得目标值.(2)解三角形中范围问题的基本思路:把求解目标化为三角形一个内角的三角函数,利用三角函数的性质及基本不等式得出目标的范围.二、精选试题,能力升级1.在中,角的对边分别为,其中.(Ⅰ)若,求角的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由正弦定理,又∵,∴∴∴(Ⅱ)由正弦定理得,∴∵∴∴∴故的取值范围为。2.在中,.(1)求角的大小;(2)求的最大值.3.的内角的对边分别为.(1)若,求面积的最大值;(2)若,求的值.【解析】:(1)由余弦定理得,即,所以,因为,所以,即(当且仅当时,等号成立),所以,故面积的最大值为.4.在中,分别是角的对边,且.(1)求的大小;(2)若,求面积的最大值.【解析】:(1)由2cosAcosC(1-tanAtanC)=1,得.∴.∴.∴.又,∴.(2)又b=,∴.所以当且仅当时,有最大值为5.已知,(1)求函数的单调递增区间;(2)设的内角满足,而,求证:.【解析】:(1)6.设函数.(1)求的最大值,并写出使取最大值时的集合;(2)已知中,角的边分别为,若,求的最小值.(1)=的最大值为2.要使取最大值,故的集合为.(2),化简得,,只有在中,由余弦定理,,由当时等号成立,最小为1.7.在中,角的对边分别为,满足.(Ⅰ)求角的大小(Ⅱ)若,求的周长最大值.(II)由(I)得,由正弦定理得所以的周长当时,的周长取得最大值为9.8.在中,内角的对边分别是,满足.(1)求角的值;(2)若且,求的取值范围.9.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调递增区间;(Ⅱ)在△中,角的对边分别为,若为锐角且,,求的取值范围.【解析】:(1)函数变形,即,令,解得,所以单调增区间(2),所以解得,又,在△中,,等边三角形时等号成立,所以,又因为是三角形所以,所以。10.在中,,,分别为内角,,的对边,且,,成等比数列.(1)求角的取值范围;(2)若关于的不等式恒成立,求的取值范围.所以的取值范围为

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