专题2.4探求三角形最值范围的各类妙法一、典例分析，融合贯通题型一与角有关的最值或范围问题典例1设△ABC的内角为A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan(A－B)的最大值．【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝(sinAcosB＋sinBcosA)，所以sinAcosB＝4sinBcosA，故＝4．解2：（Ⅱ）由（Ⅰ）得0＜A＜B＜．sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A－B)，所以sin(A－B)的最大值为，故tan(A－B)的最大值为．解3：由tanA＝4tanB得：作CH⊥AB于H，则4AH＝BH．在BH上取一点A1，使A1H＝AH,则∠A＝∠AA1C，所以A－B＝∠AA1C－∠ABC＝∠BCA1．显然，当过A1，B的圆与CH相切于C1时，∠BC1A1为∠BCA1的最大值．题型二与边有关的最值或范围问题例3已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为____．解3：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，整理可得a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得cosA＝，所以A＝．因为a＝2，所以A在以BC为弦，以为半径的圆上，所以△ABC面积的最大值为．【变式训练】△ABC中，A＝，a＝2，求2b＋c的最大值．解1：由正弦定理可得2b＋c＝(2sinB＋sinC)＝[2sin(C＋)＋sinC]＝(2sinC＋cosC)＝sin(C＋φ)．故2b＋c的最大值为．解2：＝＝．令＝t，t＞0，f(t)＝＝＝－＋1，所以＝，即t＝时，取得最小值，所以2b＋c此时取得最大值．【点睛】(1)正弦定理、余弦定理与三角形面积公式综合使用是高考命题的趋势，解题时要综合分析其中的数量关系，得出方程，通过解方程求得目标值．(2)解三角形中范围问题的基本思路：把求解目标化为三角形一个内角的三角函数，利用三角函数的性质及基本不等式得出目标的范围．二、精选试题，能力升级1．在中，角的对边分别为，其中.（Ⅰ）若，求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【解析】：（Ⅰ）由正弦定理，又∵，∴∴∴（Ⅱ）由正弦定理得，∴∵∴∴∴故的取值范围为。2．在中，.（1）求角的大小；（2）求的最大值.3．的内角的对边分别为.（1）若，求面积的最大值；（2）若，求的值.【解析】：（1)由余弦定理得，即，所以，因为，所以，即(当且仅当时，等号成立），所以，故面积的最大值为.4．在中，分别是角的对边，且．（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值．【解析】：（1）由2cosAcosC(1－tanAtanC)＝1，得．∴．∴．∴．又,∴．（2）又b＝，∴．所以当且仅当时，有最大值为5．已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证：.【解析】：（1）6．设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.（1）=的最大值为2．要使取最大值,故的集合为.（2）,化简得,，只有在中，由余弦定理，,由当时等号成立，最小为1.7．在中，角的对边分别为，满足．(Ⅰ)求角的大小(Ⅱ)若，求的周长最大值．(II)由（I）得，由正弦定理得所以的周长当时，的周长取得最大值为9．8．在中，内角的对边分别是，满足．（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．9．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在△中，角的对边分别为，若为锐角且，，求的取值范围.【解析】：（1）函数变形，即，令，解得，所以单调增区间（2），所以解得，又，在△中，，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。10．在中，，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列．（1）求角的取值范围；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．所以的取值范围为
