第二篇专题五第3讲立体几何中的向量方法[限时训练·素能提升](限时50分钟，满分60分)解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解析(1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可知是，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0，0，0)，P，D，DP＝，HP＝为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2．(2018·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．解析(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.所以AC⊥平面BEF.(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE.如图建立空间直角坐标系E－xyz.由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)．所以BC＝(－1，－2，0)，BD＝(1，－2，1)．设平面BCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则即令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4.于是n＝(2，－1，－4)．又因为平面CC1D的法向量为EB＝(0，2，0)，所以cos〈n，EB〉＝＝－.由题知二面角B－CD－C1为钝角，所以其余弦值为－.(3)由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，FG＝(0，2，－1)．因为n·FG＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0，所以直线FG与平面BCD相交．3．(2018·合肥质检)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝，点E在AD上，且AE＝2ED.(1)已知点F在BC上，且CF＝2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；(2)当二面角A－PB－E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？解析(1)证明 AB⊥AC，AB＝AC，∴∠ACB＝45°， 底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠ACD＝45°，即AD＝CD，又AB⊥AC，∴BC＝AC＝2AD， AE＝2ED，CF＝2FB，∴AE＝BF＝AD，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF， PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF， PA∩AC＝A，∴EF⊥平面PAC， EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC.(2) PA⊥AC，AC⊥AB，PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB，则∠APC为PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成的角为45°，则tan∠APC＝＝1，即PA＝AC＝，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，－1，0)，C(1，1，0)，E，P(0，0，)，∴EB＝，EP＝，设平面PBE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝3，则x＝5，z＝，∴n＝(5，3，)， AC＝(1，1，0)是平面PAB的一个法向量，cos〈n，AC〉＝＝，故结合图形可知当二面角A－PB－E的余弦值为时，直线PC与平面PAB所成的角为45°.4．(2018·雅安二模)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝BF＝2，∠EAD＝30°.(1)求证：AE⊥平面CDEF；(2)在线段BD上是否存在一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°.解析(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝CD＝2.在△ADE中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin∠AED＝1，所以∠AED＝90°，即AE⊥ED.在梯形ABFE中，过点E作EP∥BF交AB于点P，如图，因为EF∥AB，所以EP＝BF＝2，PB＝EF＝1，AP＝1.在Rt△ADE中，AE＝，所以AE2＋AP2＝EP2，所以AE⊥AB，所以AE⊥EF，又AE⊥DE，EF∩DE＝E，所以AE⊥平面CDEF.(2)由(1)可得，AE⊥EF，又AD⊥DC，AD∩AE＝A，所以DC⊥平面AED，又DC⊂平面ABCD，所以平面AED⊥平面ABCD.以D为坐标原点，建立如图所示的空间直...
