2018高考数学异构异模复习考案第六章数列6.1.2数列的通项公式撬题理1．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．答案解析由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，故数列前10项的和S10＝2＝2＝.2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝2·3n－1－1解析∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∴＝3，∴数列{an＋1}是等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.3.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝解析当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，∴an＝4.Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.5．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.解(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由于an＝2n，故bn＝＝＝.Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－<×＝.
