2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为.由圆心(0,1)到直线2x－y＋3＝0的距离：d＝＝＜.∴直线和圆相交．答案：A2．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是()A．(x－)2＋y2＝5B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为，故有＝，∴|x0|＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D.答案：D3．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0D．x－y－3＝0解析：圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D.答案：D4．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c的值为()A．－3B．3C．8D．－2解析：配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圆心是点P(2，－1)，半径r＝，点P到y轴的距离为2.当∠APB＝90°时，弦心距、半径和半弦长构成等腰直角三角形，所以＝，得c＝－3，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.答案：26．已知圆C与直线x－y＝0及x－y＝4都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为____________．解析：设圆心为点C(a，－a)，由点到直线的距离公式得＝，解得a＝1，所以圆心为(1，－1)，半径为，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2三、解答题(每小题10分，共20分)7．当a(a＞0)取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相离、相交？解析：将已知圆的方程化为标准方程：(x－a)2＋(y＋1)2＝a.圆心为(a，－1)，半径为，则已知圆的圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为：d＝＝＝.当＝，即a＝2时，直线和圆相切；当＞，即a＞2时，直线和圆相离；当＜，即0＜a＜2时，直线和圆相交．8．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．解析：将圆C：x2＋y2－8y＋12＝0化为标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则圆C的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切则有＝2，解得a＝－.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或－1.∴直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.☆☆☆9．(10分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)在直线l：2x－4y＋3＝0上找一点P(m，n)，过该点作圆C的切线，切点记为M，使得|PM|最小．解析：(1)将圆C的方程整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得＝，解得k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切，得＝，解得a＝－1或3，从而切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)因为圆心C(－1,2)到直线l的距离d＝＝＞＝r.所以直线l与圆C相离．设切点为M，当|PM|取最小值时，|CP|取得最小值，此时直线CP⊥l，则直线CP的斜率为－2，所以直线CP的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0.解方程组得点P的坐标为.
