第1讲坐标系与参数方程1．(2018·益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．解：(1)由ρcos＝得ρcosθcos－ρsinθsin＝，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，所以t1·t2＝－，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.2．(2018·合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cosθ＝0.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．解：(1)由ρ－2cosθ＝0得ρ2－2ρcosθ＝0.因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以x2＋y2－2x＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1.设曲线C1的动点M(3cosθ，2sinθ)，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.因为|MC2|＝＝，所以当cosθ＝时，|MC2|min＝，所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，＜α＜)．4．(2018·昆明调研)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cosα)2＝5×3，解得cos2α＝，满足cos2α>，所以sin2α＝，tan2α＝，所以直线l的斜率k＝tanα＝±.5．(一题多解)(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)由题知直线l的参数方程为(t为参数)．因为ρ＝，所以ρsin2θ＝8cosθ，所以ρ2sin2θ＝8ρcosθ，即y2＝8x.(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1·t2＝－16，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8.又点O到直线AB的距离d＝1×sin＝，所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2.法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，由根与系数的关系得S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.6．(2018·陕西教学质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值...
