2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为()A．1＋aB．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4解析：将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.答案：C2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为()A．2(2k＋1)B．2k＋1C．D．解析：当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．答案：A3．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立．则有()A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析：由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．答案：C4．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)()A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－2解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1024>103,29＝512<93，∴填10.答案：106．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．1(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对所有n∈N＋都成立．8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，∴≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．☆☆☆(10分)是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n＝1,2,3分别代入等式得方程组：解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.故存在一个等差数列an＝3n＋3，使得当n＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]所以当n＝k＋1时结论也成立．2由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3
