第39讲空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积[解密考纲]考查空间几何体的结构特征与三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(D)解析如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(D)解析由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D项，则正视图应为，故D项不可能，故选D项．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(B)A．2＋B．2＋2C．D．解析三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是×2×2＋2×××1＋××2＝2＋2，故选B．14．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A．＋1B．＋3C．＋1D．＋3解析由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝××π×3＋××2×1×3＝＋1，故选A．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(B)A．6B．6C．4D．4解析由三视图知，该几何体为三棱锥D1－CEC1(如图所示)，∵平面CEC1⊥平面D1C1C，△D1C1C为等腰直角三角形，△CEC1为等腰三角形，且D1C1⊥CC1，所以CE＝C1E＝＝2，CD1＝＝4，D1E＝＝6，则该三棱锥最长的棱为6.6．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A．①和③B．③和①C．④和③D．④和②解析由三视图可知，正视图与俯视图分别为④②.2二、填空题7．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是____.解析设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以＝＝.8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为____.解析如图所示．因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F′＝，则直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝.9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是____.解析由三视图知，该几何体为一个四棱锥P－ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB＝2AD＝4，AD⊥AB，PA＝2，∴该四棱锥的最长的棱为PC＝＝.三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面ABCD垂直，该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．解析(1)该四棱锥的俯视图是边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝＝＝6(cm)．311．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解析(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝312(m3)．(2)设A1B1＝a(m)，PO1＝h(m)，则0＜h＜6，O1O＝4h.连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数；当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．故当h＝2时取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2m时，仓库的容积最大．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，BD，DE，DF，求几何体EFC1DBC的体积．解析如图，连接DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.4故所求几何体EFC1DBC的体积为66.5
