高考数学复习点拨 归纳猜想高考题例析VIP免费

归纳猜想高考题例析“观察———归纳———猜想———证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型.由于这类问题能培养同学们探索问题的能力，因而成为高考命题的热点.解这类问题，需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明.其中解题的关键在于正确的归纳猜想.下面以几道高考题为例加以说明.例１设数列na满足211nnnaana，123n，，，．当12a时，求234aaa，，，由此猜想出na的一个通项公式，并给出证明．分析：由12a及递推关系式得234aaa，，的值，猜想na并用数学归纳法证明．解：由12a，得221113aaa；由23a，得2322214aaa；由34a，得2433315aaa．由此猜想na的一个通项公式：1nan．下面用数学归纳法证明．（1）当1n时，左边12a，右边112，猜想成立．（2）假设当nk时，猜想成立，即1kak．那么2211(1)(1)1(1)[(1)]1(1)1kkkaakakkkkkkk，所以，当1nk时，猜想成立．根据（1）和（2），可知猜想对任何nN都成立．例2已知数列222222818281335(21)(21)nnSnn，，，，，为其前n项的和，计算得189S，22425S，34849S，48081S．观察上述结果，推测出nS的公式，并用数学归纳法加以证明．分析：观察分母得2222357(21)n，，，，，分子为分母减1，用数学归纳法证明时要利用递推关系11kkkSSa．解：由已知推测22(21)1(21)nnSn．用数学归纳法证明如下：（1）当1n时，左边89，右边2222(211)1318(211)39，推测成立．（2）假设当nk时推测成立，即22(21)1(21)kkSk，那么211222(21)18(1)(21)(21)(23)kkkkkSSakkk2222[(21)1](23)8(1)(21)(23)kkkkk用心爱心专心22222(21)(23)(23)8(1)(21)(23)kkkkkk22222(21)(23)(21)(21)(23)kkkkk22(23)1(23)kk22[2(1)1]1[2(1)1]kk．即当1nk时，推测也成立．根据（1）和（2）可知，推测对任何nN都成立．例3已知点的序列(0)nnAxnN，，，其中120(0)xxaa，，3A是线段12AA的中点，4A是线段23AA的中点，，nA是线段21nnAA的中点（1）写出nx与1nx，2nx之间的关系式(3)n≥；（2）设1nnnaxx，计算123aaa，，，由此推测数列na的通项公式，并加以证明．分析：利用递推公式及归纳假设是解题的关键．解：（1）当3n≥时，122nnnxxx．（2）121axxa；2123222111()222xxaxxxxxa；3234333211()224xxaxxxxxa，由此推测11()2nnaanN．下面用数学归纳法证明：①当1n时，012112axxaa，推测成立．②假设当nk时，推测成立，即112kkaa．那么，当1nk时，11121111111()22222kkkkkkkkkkxxaxxxxxaa·(1)112ka，即当1nk时，推测也成立．用心爱心专心根据①和②可知，推测对任何nN都成立．用心爱心专心