题组层级快练(六十三)1．已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)答案C解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆＋＝1外部即可．从而m≥1.又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．2．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案C解析PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Q(－c，)，△PF2Q的周长为36.∴4a＝36，a＝9.由已知＝5，即＝5.又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)， A，B在椭圆上，∴①－②，得＋＝0，即＝－， AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2.而＝kAB＝＝，∴＝.又 a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为＋＝1.故选D.4．(2015·安徽安庆六校联考)已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于()A.B.C.D.答案D解析kAB＝－，kOP＝，由kAB·kOP＝－，得×(－)＝－.∴＝.∴e＝＝＝.5．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)在()A．圆x2＋y2＝2内B．圆x2＋y2＝2上C．圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能答案A解析由已知得e＝＝，c＝，x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝<＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．6．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5B.＋C．7＋D．6答案D解析设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，点C到椭圆上的点Q(cosα，sinα)的距离|CQ|＝＝＝≤＝5，当且仅当sinα＝－时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.7.(2015·河南豫东、豫北十所名校阶段测试)如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案C解析设外层椭圆方程为＋＝1(a>b>0，m>1)，则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由消去y，得(b2＋a2k)x2－2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0.因为Δ＝(2ma3k)2－4(b2＋a2k)(m2a4k－a2b2)＝0，整理，得k＝·.由消去y，得(b2＋a2k)x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2k)(a2m2b2－a2b2)＝0，整理，得k＝·(m2－1)．所以k·k＝.因为k1k2＝－，所以＝，e2＝＝＝，所以e＝，故选C.8．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，若原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．答案解析由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.则MN的中点P的坐标为(，)．∴kOP＝＝.9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．答案＋x2＝1解析 椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，∴b＝1，焦点坐标为(0，c)， 过焦点且垂直于长轴的弦长为1，即1＝2|x|＝2b＝＝，a＝2.则椭圆方程为＋x2＝1.10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为________．答案解析如图，因为四边形PAOB为正方形，且PA，PB为圆O的切线，所以△OAP是等腰直角三角形，故a＝b.所以e＝＝.11．(2013·福建)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案－1解析由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a.即e＝＝－1.12．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2取值范围．答案[－2,1]解析易知a＝2，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F...
