2.2.2双曲线的几何性质课堂探究探究一由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式－＝1，再根据a，b的值(注意分母分别为a2，b2，而不是a，b)求出c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形．【典型例题1】求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图．思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．解：把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程－＝1，由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；离心率为e＝＝；渐近线方程为y＝±x.作草图．探究二利用几何性质求双曲线的标准方程双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于a，b，c的方程，解方程组求出待定系数．【典型例题2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；(3)与椭圆＋＝1有公共焦点，且率心率e＝.思路分析：根据题设条件确定a，b的关系式，利用解方程的方法求得a，b的值．但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论．也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解．解：(1)解法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1.由渐近线方程为y＝±x，得＝，2c＝10.又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，所以双曲线的标准方程为－＝1.同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.解法二：由渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.由a2＋b2＝c2,2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，所以|λ|＝5，所以λ＝±5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)因为双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，所以可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点M，所以λ＝4×－9＝72.1所以双曲线方程为4x2－9y2＝72，即标准方程为－＝1.(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且c＝5.又e＝＝，所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设双曲线方程为－＝1(24＜λ＜49)．又e＝，所以＝－1，解得λ＝33.所以双曲线的标准方程为－＝1.点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)．这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确率．(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程，不失为一种巧妙的解题方法．探究三双曲线的离心率问题求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．【典型例题3】双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为__________．思路分析：分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，把看作一个整体进行求解．解析：方法1：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，故e＝＝.当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意得＝，b＝a，c＝＝a，即e＝＝.方法2：由e＝＝得：当＝时，e＝；当＝时，e＝.答案：或规律小结求双曲线的离心率的常用方法：(1)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解．(2)利用a，b求．若已知a，b，可直接利用e＝得解．(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程(p，q，r为常数，且p≠0)，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解．探究四双曲线的渐近线问题根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．与双曲线－＝1有共同渐...
