考点测试22简单的三角恒等变换高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中等难度考纲研读能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)一、基础小题1．若cos＝－，则cos2α＝()A．－B．－C．D．答案C解析由cos＝－sinα＝－，得到sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.故选C.2．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin2θ＝()A.B．C．D．答案C解析因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cosθ.又|θ|<，故sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，故选C.3．已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于()A.B．－C．D．－答案B解析 cosα＝，α∈(π，2π)，∴∈.∴cos＝－＝－＝－.故选B.4．已知tan(α＋β)＝，tanβ＝，则tan＝()A.B．－C．D．答案B解析因为tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝，所以tan＝＝＝－，故选B.5．设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝()A.B．C．－D．－答案B解析因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝×＝，故1选B.6．已知cos＝，则cosx＋cos＝()A.B．－C．D．±答案A解析因为cos＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝＝cos＝×＝.故选A.7．cos36°cos72°的值为________．答案解析cos36°cos72°＝＝＝＝.8．已知sinβ＝，β∈，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝________.答案－2解析因为sinβ＝，β∈，所以cosβ＝－.由sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.二、高考小题9．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.B．C．D．答案B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.10．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案－解析解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.11．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.答案1解析 2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，∴A＝，b＝1.12．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.答案－解析解法一： sin＝×(sinθ＋cosθ)＝，∴sinθ＋cosθ＝，①∴2sinθcosθ＝－. θ是第四象限角，∴sinθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ－cosθ＝－＝－，②由①②得sinθ＝－，cosθ＝，∴tanθ＝－，∴tan＝＝－.2解法二： ＋＝，∴sin＝cos＝，又2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，∴cos＝，∴sin＝，∴tan＝＝，∴tan＝－tan＝－.解法三： θ是第四象限角，∴2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，又sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝＝＝＝－.三、模拟小题13．(2019·菏泽二模)已知tanα＝3，则cos＝()A．－B．C．－D．答案C解析由tanα＝3，得cos＝－sin2α＝－＝－＝－＝－.故选C.14．(2019·厦门质检)已知锐角α满足cos＝，则sin＝()A.B．±C．D．±答案C解析 锐角α满足cos＝，∴α＋也是锐角，由三角函数的基本关系式可得sin＝＝，则sin＝2sincos＝.故选C.15．(2020·拉萨中学月考)若sin(π－α)＝，α∈，则sin2α－cos2的值等于()A.B．C．D．答案A解析由sin(π－α)＝，α∈，得sinα＝，cosα＝，则sin2α－cos2＝2sinαcosα－...
