第5讲导数与函数零点、不等式的综合问题一、选择题1．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：条件可转化为a≤2lnx＋x＋恒成立．设f(x)＝2lnx＋x＋，则f′(x)＝(x＞0)．当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝4.所以a≤4.答案：B2．(2017·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：根据导函数图象知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案：D3．(2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则()A．3f(1)＜f(3)B．3f(1)＞f(3)C．3f(1)＝f(3)D．f(1)＝f(3)解析：由于f(x)＞xf′(x)，则′＝＜0恒成立，因此在R上是单调递减函数，所以＜，即3f(1)＞f(3)．答案：B4．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()(导学号55410101)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)解析：由题意知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当a＞0时，x∈(－∞，0)，f′(x)＞0，x∈，f′(x)＜0，x∈，f′(x)＞0，且f(0)＝1＞0，故f(x)有小于0的零点，不满足．当a＜0时，需使x0＞0且唯一，只需f＞0，则a2＞4，所以a＜－2.答案：C5．(2017·佛山调研)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为()A．0B．1C．0或1D．无数个解析：由g(x)＝xf(x)＋1＝0得，xf(x)＝－1(x＞0)，设h(x)＝xf(x)，则h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为xf′(x)＋f(x)＞0，所以h′(x)＞0，即函数在(0，＋∞)上为增函数，因为h(0)＝0·f(0)＝0，所以当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，故h(x)＝－1无解，故函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为0个．答案：A二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27πdm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________dm.解析：设圆柱的底面半径为Rdm，母线长为ldm，则V＝πR2l＝27π，所以l＝，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，所以S′表＝2πR－.令S′表＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小．答案：37．(2017·长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)＞f′(x)，且f(0)＝1，则不等式＜1的解集为________．解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)＜0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．又g(0)＝＝1，所以＜1，即g(x)＜1，所以x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)8．(2017·德州二模)若对任意的x∈D，均有g(x)≤f(x)≤h(x)成立，则称函数f(x)为函数g(x)到函数h(x)在区间D上的“任性函数”．已知函数f(x)＝kx，g(x)＝x2－2x，h(x)＝(x＋1)(lnx＋1)，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是________．(导学号54850101)解析：依题意，∀x∈[1，e]，x2－2x≤kx≤(x＋1)(lnx＋1)恒成立．所以x－2≤k≤(lnx＋1)在x∈[1，e]上恒成立．又y＝x－2在[1，e]上是增函数，所以(x－2)max＝e－2，则k≥e－2.①设φ(x)＝(lnx＋1)，x∈[1，e]．则φ′＝－(lnx＋1)＋＝≥0，所以φ(x)在[1，e]上是增函数，则φ(x)min＝φ(1)＝2.所以k≤2，②由①②知，当e－2≤k≤2时，x2－2x≤kx≤(x＋1)(lnx＋1)在x∈[1，e]上恒成立．答案：[e－2，2]三、解答题9．(2017·贵阳质检)已知函数f(x)＝－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)；(3)求证：ln≤.(1)解：f(x)＝－lnx＝1－－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝－＝，所以f′(x)＞0⇒0＜x＜1，f′(x)＜0⇒x＞1.所以f(x)＝1－－lnx在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)解：由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x...
