第43讲不等关系与不等式的性质1．(2018·广西玉林质检)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是(D)A．|a|>|b|B.>C．a2>b2D．lga>lgb首先要弄清题意，所选出的选项能推出a>b，但a>b不能推出该选项，故选D.2．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)．若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则(A)A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)＞f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定要比较两个量的大小，只要作差、变形、判断就可以了，事实上：f(x1)－f(x2)＝a(x－x)＋2a(x1－x2)＝a(x1－x2)[(x1＋x2)＋2]＝a(3－a)(x1－x2)．因为x1－x2<0,0＜a＜3，所以f(x1)
2－y＋3－x，则下列各式中正确的是(D)A．x－y>0B．x＋y<0C．x－y<0D．x＋y>0因为2x＋3y>2－y＋3－x，所以2x－3－x>2－y－3y，令f(x)＝2x－3－x，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，因为f(x)>f(－y)，所以x>－y，即x＋y>0，选D.4．(2016·北京卷)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(C)A.－＞0B．sinx－siny＞0C．()x－()y＜0D．lnx＋lny＞0对于A，因为f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又x＞y＞0，所以－<0，所以A错误．对于B，因为f(x)＝sinx在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sinx>siny，所以B错误．对于C，因为f(x)＝()x在(0，＋∞)上单调递减，又x＞y＞0，所以有()x<()y，即()x－()y<0，所以C正确．对于D，设f(x)＝lnx，因为lnx＋lny＝lnxy，当x>y>0时，xy>0，不一定有lnxy>0，所以D错误．5．给出下列命题：①ab且>⇒a>0，b>0；③a>|b|⇒a2>b2；④a>b⇒an>bn(n∈N*)．其中真命题的序号是③.由不等式的性质可知，只有③成立，故填③.6．已知<α<β<π，则α＋β的取值范围是(π，2π)，α－β的取值范围是(－，0)；的取值范围是(，1).7．已知a，b∈R，求证a2＋b2≥ab＋a－b－1.2(a2＋b2)－2(ab＋a－b－1)＝(a2＋b2－2ab)＋(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－b)2＋(a－1)2＋(b＋1)2≥0.所以a2＋b2≥ab＋a－b－1.8．(2017·山东卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(B)A．a＋＜＜log2(a＋b)B.＜log2(a＋b)＜a＋C．a＋＜log2(a＋b)＜D．log2(a＋b)＜a＋＜(方法1)因为a＞b＞0，ab＝1，所以log2(a＋b)＞log2(2)＝1.因为＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，又因为b＝，a＞b＞0，所以a＞，解得a＞1.所以f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln2＝－a－2·2－a(1＋aln2)＜0，所以f(a)在(1，＋∞)上单调递减．所以f(a)＜f(1)，即＜.因为a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，所以b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是z>y>x.(用“>”连接)(方法1)因为y2－x2＝2c(a－b)>0，所以y>x，同理，z>y，所以z>y>x.(方法2)令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，z＝.故z>y>x.10．(2016·河南郑州一模)(1)已知－1
