专题08正弦定理与余弦定理一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2.边角互化的选取3.正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二．【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．三．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四．【题型方法】}（一）正弦定理辨析三角形例1．已知数列的前项和（1）若三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；（2）探究数列中是否存在相邻的三项,同时满足以下两个条件：①此三项可作为三角形三边的长；②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍．若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】解：数列的前n项和．当时，，当时，，又时，，所以，不妨设三边长为，，，所以所以假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，由正弦定理：，所以由余弦定理：，即化简得：，所以：或舍去当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.练习1．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是A．在中，B．在中，若，则C．在中，若，则；D．在中，【答案】B【解析】在中，;在中，若，则或，即或；在中，若，则；在中，,选B.练习2．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】根据正弦定理可得故选D.（二）正弦定理解三角形例2在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．【答案】【解析】 ，∴，∴， ，∴，∴，由正弦定理可得，即，当时，.当时，则的最小值为．故答案为：.练习1．的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则()A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因为，，，由正弦定理，可得，所以或；且都满足.故选C练习2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，两边平方可得：，即：又，，由正弦定理得：解得：本题正确选项：练习3.在△ABC中，已知a≠b，。则内角C=_______，式子的取值范围是________。【答案】【解析】由，得，化简得，由正弦定理得，即，由于，故.所以，且，故，由于，且,故，所以.（三）利用正弦定理判断三角形解的个数例3.在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】选项:因为，所以，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；选项:由正弦定理可知,即，所有角有两解；选项:由正弦定理可知,即，所以角有两解；选项:由正弦定理可知,即,所以角仅有一解，综上所述，故选BC。练习1．在中，，则此三角形有（）A．无解B．两解C．两解D．不确定【答案】B【解析】由题意，知，所以，，所以，由正弦定理，得，即，当时，为锐角；当时，为钝角，则此三角形有两解．故选：B．练习2．在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得，则，解得.故选A.练习3．在中，角所对的边分别为，已知，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】C到AB的距离d=bsinA=3，∴当3＜a＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C．（四）三角形的外接圆问题例4.在中，内角的对边分别...
