第二讲第二节第一课时直线的参数方程一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知直线(t为参数)，下列命题中错误的是()A．直线经过点(7，－1)B．直线的斜率为C．直线不过第二象限D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离解析：直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D．答案：D2．以t为参数的方程表示()A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线B．过点(－1,2)且倾斜角为的直线C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线D．过点(－1,2)且倾斜角为的直线解析：化参数方程为普通方程得y＋2＝－(x－1)，故直线过定点(1，－2)，斜率为－，倾斜角为.答案：C3．双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是()A．8x－9y＝7B．8x＋9y＝25C．4x－9y＝6D．不存在解析：设直线的参数方程为(t为参数)，代入双曲线方程，得4(2＋tcosα)2－9(1＋tsinα)2＝36，整理得(4cos2α－9sin2α)t2－(16cosα－18sinα)t－29＝0.设方程的两个实根分别为t1，t2，则t1＋t2＝.因为点P平分弦，所以t1＋t2＝0，即18sinα－16cosα＝0，tanα＝，即k＝.因此弦所在直线方程为y－1＝(x－2)，即8x－9y＝7.答案：A4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是()A．(t为参数)B．(t为参数)C．(t为参数)D．(t为参数)解析：题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以1可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．过点P且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为__________________.解析：直线的参数方程为(s为参数)，曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0，设A，B对应的参数分别为s1，s2，∴s1＋s2＝6，s1s2＝10，|AB|＝|s1－s2|＝＝2.答案：26．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，设l与曲线(θ为参数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________________.解析：直线的参数方程为则曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝4，把直线代入x2＋y2＝4得2＋2＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；(3)设AB中点为M，求|PM|.解析：(1)直线l的参数方程是(t为参数)．(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋2－16＝0.即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.(3)由t的几何意义，知中点M的参数为，故|PM|＝|t1＋t2|＝.8．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程．解析：设直线的倾斜角为α，2则它的方程为(t为参数)由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，∴0＝2＋tsinα，即|PA|＝|t|＝，0＝3＋tcosα，即|PB|＝|t|＝－.故|PA|·|PB|＝.＝－.∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时，|PA|·|PB|有最小值．∴直线方程为(t为参数)，化为普通方程即x＋y－5＝0.☆☆☆9．(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ＝arccos)方向300km的海面P处，并以200km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解析：方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t(h)台风中心(，)的坐标为此时台风侵袭的区域是(x－)2＋(y－)2≤[r(t)]2，其中r(t)＝10t＋60，若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0－)2＋(0－)2≤(10t＋60)2，即2＋2≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24.即12小时后该城市开始受到台风的侵袭方法二：如图，设在时刻t(h)台风中心为Q，3此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)．若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60.由余弦定理知OQ2＝PQ2＋OP2－2·PQ·POcos∠OPQ.又由于OP＝300，PQ＝20t，所以cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝×＋×＝，故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×＝202t2－9600t＋3002.因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24.即12小时后该城市开始受到台风的侵袭．4
